Номер 770, страница 258 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

770. Упростить:

1) $\frac{5^3 \cdot 5^4 \cdot 5}{(5^2)^3};$

2) $\frac{7^7}{(7^5)^2};$

3) $\frac{(b^3)^2 b^3 b}{(b^2)^4} - b^2;$

4) $\frac{(3b^2)^2 9b^3}{3^4 b^6} + b;$

5) $\left(\frac{1}{m}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{m}\right)^2 m^5;$

6) $\left(\left(\frac{1}{a}\right)^4\right)^3 - \left(\frac{1}{a}\right)^{11} \cdot \frac{1}{a}.$

1) Для упрощения выражения $\frac{5^3 \cdot 5^4 \cdot 5}{(5^2)^3}$ воспользуемся свойствами степеней.
Сначала упростим числитель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Учтем, что $5 = 5^1$:
$5^3 \cdot 5^4 \cdot 5^1 = 5^{3+4+1} = 5^8$.
Теперь упростим знаменатель, используя правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(5^2)^3 = 5^{2 \cdot 3} = 5^6$.
Теперь разделим числитель на знаменатель, используя правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{5^8}{5^6} = 5^{8-6} = 5^2$.
Вычислим результат:
$5^2 = 25$.
Ответ: $25$.

2) Для упрощения выражения $\frac{7^7}{(7^5)^2}$ применим свойства степеней.
Упростим знаменатель по правилу возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(7^5)^2 = 7^{5 \cdot 2} = 7^{10}$.
Теперь выполним деление степеней с одинаковым основанием по правилу $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{7^7}{7^{10}} = 7^{7-10} = 7^{-3}$.
Преобразуем степень с отрицательным показателем по правилу $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$7^{-3} = \frac{1}{7^3} = \frac{1}{343}$.
Ответ: $\frac{1}{343}$.

3) Рассмотрим выражение $\frac{(b^3)^2 b^3 b}{(b^2)^4} - b^2$ и упростим первое слагаемое.
Преобразуем числитель дроби, используя правила $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Учтем, что $b = b^1$:
$(b^3)^2 b^3 b = b^{3 \cdot 2} \cdot b^3 \cdot b^1 = b^6 \cdot b^3 \cdot b^1 = b^{6+3+1} = b^{10}$.
Преобразуем знаменатель дроби по правилу $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(b^2)^4 = b^{2 \cdot 4} = b^8$.
Теперь упростим саму дробь, используя правило $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{b^{10}}{b^8} = b^{10-8} = b^2$.
Подставим упрощенное выражение обратно в исходное:
$b^2 - b^2 = 0$.
Ответ: $0$.

4) Упростим выражение $\frac{(3b^2)^2 9b^3}{3^4 b^6} + b$.
Сначала преобразуем числитель дроби. Применим правило возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$ и представим $9$ как $3^2$.
$(3b^2)^2 \cdot 9b^3 = (3^2 \cdot (b^2)^2) \cdot (3^2 \cdot b^3) = (3^2 b^4) \cdot (3^2 b^3)$.
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:
$(3^2 \cdot 3^2) \cdot (b^4 \cdot b^3) = 3^{2+2} \cdot b^{4+3} = 3^4 b^7$.
Теперь разделим полученный числитель на знаменатель $3^4 b^6$:
$\frac{3^4 b^7}{3^4 b^6} = \frac{3^4}{3^4} \cdot \frac{b^7}{b^6} = 1 \cdot b^{7-6} = b^1 = b$.
Подставим результат в исходное выражение:
$b + b = 2b$.
Ответ: $2b$.

5) Упростим выражение $(\frac{1}{m})^3 \cdot (\frac{1}{m})^2 m^5$.
Сначала умножим степени с одинаковым основанием $\frac{1}{m}$, используя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$(\frac{1}{m})^3 \cdot (\frac{1}{m})^2 = (\frac{1}{m})^{3+2} = (\frac{1}{m})^5$.
Теперь выражение имеет вид: $(\frac{1}{m})^5 \cdot m^5$.
Используем свойство $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$:
$(\frac{1}{m})^5 = \frac{1^5}{m^5} = \frac{1}{m^5}$.
Подставим это в выражение:
$\frac{1}{m^5} \cdot m^5 = \frac{m^5}{m^5} = 1$.
Ответ: $1$.

6) Упростим выражение $((\frac{1}{a})^4)^3 - (\frac{1}{a})^{11} \cdot \frac{1}{a}$.
Рассмотрим первое слагаемое. Применим правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:
$((\frac{1}{a})^4)^3 = (\frac{1}{a})^{4 \cdot 3} = (\frac{1}{a})^{12}$.
Рассмотрим второе слагаемое. Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. Учтем, что $\frac{1}{a} = (\frac{1}{a})^1$:
$(\frac{1}{a})^{11} \cdot (\frac{1}{a})^1 = (\frac{1}{a})^{11+1} = (\frac{1}{a})^{12}$.
Теперь подставим упрощенные части в исходное выражение:
$(\frac{1}{a})^{12} - (\frac{1}{a})^{12} = 0$.
Ответ: $0$.