Страница 258 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

766. В трёх коробках 119 карандашей. В первой коробке на 4 карандаша больше, чем во второй, и на 3 карандаша меньше, чем в третьей. Сколько карандашей в каждой коробке?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество карандашей в первой коробке. Так как все сравнения в условии задачи проводятся с первой коробкой, это наиболее удобный выбор.

Из условия мы знаем, что в первой коробке на 4 карандаша больше, чем во второй. Это означает, что во второй коробке на 4 карандаша меньше, чем в первой. Математически это можно записать так: количество карандашей во второй коробке равно $x - 4$.

Также нам известно, что в первой коробке на 3 карандаша меньше, чем в третьей. Это значит, что в третьей коробке на 3 карандаша больше, чем в первой. Математически это выражается так: количество карандашей в третьей коробке равно $x + 3$.

Общее количество карандашей во всех трех коробках составляет 119. Мы можем составить уравнение, сложив количество карандашей в каждой из коробок и приравняв сумму к 119:

Количество в 1-й + Количество во 2-й + Количество в 3-й = 119

$x + (x - 4) + (x + 3) = 119$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:

1. Раскроем скобки и сгруппируем подобные члены:

$(x + x + x) + (-4 + 3) = 119$

$3x - 1 = 119$

2. Перенесем -1 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$3x = 119 + 1$

$3x = 120$

3. Найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 3:

$x = \frac{120}{3}$

$x = 40$

Таким образом, мы нашли, что в первой коробке находится 40 карандашей.

Теперь, зная количество карандашей в первой коробке, мы можем найти их количество в двух других:

• Во второй коробке: $x - 4 = 40 - 4 = 36$ карандашей.

• В третьей коробке: $x + 3 = 40 + 3 = 43$ карандаша.

Для проверки сложим количество карандашей во всех коробках: $40 + 36 + 43 = 76 + 43 = 119$. Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: в первой коробке 40 карандашей, во второй — 36 карандашей, в третьей — 43 карандаша.

767. Отцу 30 лет, а сыну 4 года. Через сколько лет отец будет втрое старше сына?

Для решения этой задачи обозначим через $x$ количество лет, которое должно пройти.

Текущий возраст отца — 30 лет. Через $x$ лет его возраст будет $30 + x$ лет.

Текущий возраст сына — 4 года. Через $x$ лет его возраст будет $4 + x$ лет.

По условию задачи, через $x$ лет отец должен быть втрое старше сына. Это можно записать в виде уравнения:

$30 + x = 3 \cdot (4 + x)$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$. Сначала раскроем скобки в правой части:

$30 + x = 12 + 3x$

Далее, перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону уравнения, а числовые значения — в другую. Вычтем $x$ из обеих частей и вычтем 12 из обеих частей:

$30 - 12 = 3x - x$

$18 = 2x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{18}{2}$

$x = 9$

Следовательно, через 9 лет отец будет втрое старше сына.

Проведем проверку:

Возраст отца через 9 лет: $30 + 9 = 39$ лет.

Возраст сына через 9 лет: $4 + 9 = 13$ лет.

Проверим, будет ли отец втрое старше: $39 / 13 = 3$. Условие выполняется.

Ответ: через 9 лет.

768. Катер прошёл расстояние между двумя пристанями по течению реки за 3 ч, а против течения реки за 4 ч. Каково расстояние между этими пристанями, если скорость течения реки $2 \text{ км/ч}$?

Для решения задачи введем переменные:

• $S$ — искомое расстояние между пристанями (в км),
• $v_{к}$ — собственная скорость катера, то есть скорость в стоячей воде (в км/ч),
• $v_{теч}$ — скорость течения реки, по условию $v_{теч} = 2$ км/ч.

Когда катер движется по течению, его скорость складывается из собственной скорости и скорости течения:

$v_{по} = v_{к} + v_{теч} = v_{к} + 2$ км/ч.

Когда катер движется против течения, его скорость равна разности собственной скорости и скорости течения:

$v_{против} = v_{к} - v_{теч} = v_{к} - 2$ км/ч.

Расстояние ($S$) равно произведению скорости на время ($t$). Мы можем составить два уравнения для расстояния $S$:

1. По течению катер прошел расстояние за 3 часа:

$S = v_{по} \cdot 3 = (v_{к} + 2) \cdot 3$

2. Против течения катер прошел то же расстояние за 4 часа:

$S = v_{против} \cdot 4 = (v_{к} - 2) \cdot 4$

Поскольку расстояние в обоих случаях одно и то же, мы можем приравнять правые части этих двух уравнений:

$(v_{к} + 2) \cdot 3 = (v_{к} - 2) \cdot 4$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти собственную скорость катера $v_{к}$. Раскроем скобки:

$3v_{к} + 6 = 4v_{к} - 8$

Перенесем слагаемые с переменной $v_{к}$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$6 + 8 = 4v_{к} - 3v_{к}$

$14 = v_{к}$

Итак, собственная скорость катера составляет 14 км/ч.

Теперь, когда мы знаем собственную скорость катера, мы можем найти расстояние $S$, подставив значение $v_{к}$ в любое из первоначальных уравнений для расстояния.

Возьмем первое уравнение:

$S = (14 + 2) \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 48$ км.

Для проверки можно подставить значение во второе уравнение:

$S = (14 - 2) \cdot 4 = 12 \cdot 4 = 48$ км.

Оба вычисления дают один и тот же результат.

Ответ: расстояние между этими пристанями 48 км.

769. Вертолёт пролетел расстояние между двумя посёлками при попутном ветре за $1.5$ ч, а при встречном ветре за $2$ ч. Каково расстояние между посёлками, если скорость ветра оба раза была равна $10$ км/ч?

Пусть $S$ – искомое расстояние между посёлками в км, а $v$ – собственная скорость вертолёта в км/ч.

Скорость ветра по условию равна 10 км/ч.

При полёте с попутным ветром скорость вертолёта складывается со скоростью ветра и становится равной $v + 10$ км/ч. Вертолёт пролетел расстояние $S$ за 1,5 часа. На основе этих данных можно составить первое уравнение:
$S = (v + 10) \cdot 1,5$

При полёте со встречным ветром скорость вертолёта уменьшается на скорость ветра и становится равной $v - 10$ км/ч. Вертолёт пролетел то же расстояние $S$ за 2 часа. Это позволяет составить второе уравнение:
$S = (v - 10) \cdot 2$

Поскольку расстояние $S$ в обоих случаях одинаково, мы можем приравнять правые части полученных уравнений, чтобы найти собственную скорость вертолёта $v$:
$(v + 10) \cdot 1,5 = (v - 10) \cdot 2$

Решим это уравнение:
$1,5v + 1,5 \cdot 10 = 2v - 2 \cdot 10$
$1,5v + 15 = 2v - 20$
$15 + 20 = 2v - 1,5v$
$35 = 0,5v$
$v = \frac{35}{0,5}$
$v = 70$ км/ч.

Теперь, когда мы знаем собственную скорость вертолёта (70 км/ч), мы можем вычислить расстояние $S$, подставив значение $v$ в любое из двух исходных уравнений. Воспользуемся вторым уравнением:
$S = (70 - 10) \cdot 2 = 60 \cdot 2 = 120$ км.

Для проверки можно подставить значение скорости в первое уравнение:
$S = (70 + 10) \cdot 1,5 = 80 \cdot 1,5 = 120$ км.

Результаты совпадают, следовательно, задача решена верно.

Ответ: расстояние между посёлками равно 120 км.

770. Упростить:

1) $\frac{5^3 \cdot 5^4 \cdot 5}{(5^2)^3};$

2) $\frac{7^7}{(7^5)^2};$

3) $\frac{(b^3)^2 b^3 b}{(b^2)^4} - b^2;$

4) $\frac{(3b^2)^2 9b^3}{3^4 b^6} + b;$

5) $\left(\frac{1}{m}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{m}\right)^2 m^5;$

6) $\left(\left(\frac{1}{a}\right)^4\right)^3 - \left(\frac{1}{a}\right)^{11} \cdot \frac{1}{a}.$

1) Для упрощения выражения $\frac{5^3 \cdot 5^4 \cdot 5}{(5^2)^3}$ воспользуемся свойствами степеней.
Сначала упростим числитель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Учтем, что $5 = 5^1$:
$5^3 \cdot 5^4 \cdot 5^1 = 5^{3+4+1} = 5^8$.
Теперь упростим знаменатель, используя правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(5^2)^3 = 5^{2 \cdot 3} = 5^6$.
Теперь разделим числитель на знаменатель, используя правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{5^8}{5^6} = 5^{8-6} = 5^2$.
Вычислим результат:
$5^2 = 25$.
Ответ: $25$.

2) Для упрощения выражения $\frac{7^7}{(7^5)^2}$ применим свойства степеней.
Упростим знаменатель по правилу возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(7^5)^2 = 7^{5 \cdot 2} = 7^{10}$.
Теперь выполним деление степеней с одинаковым основанием по правилу $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{7^7}{7^{10}} = 7^{7-10} = 7^{-3}$.
Преобразуем степень с отрицательным показателем по правилу $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$7^{-3} = \frac{1}{7^3} = \frac{1}{343}$.
Ответ: $\frac{1}{343}$.

3) Рассмотрим выражение $\frac{(b^3)^2 b^3 b}{(b^2)^4} - b^2$ и упростим первое слагаемое.
Преобразуем числитель дроби, используя правила $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Учтем, что $b = b^1$:
$(b^3)^2 b^3 b = b^{3 \cdot 2} \cdot b^3 \cdot b^1 = b^6 \cdot b^3 \cdot b^1 = b^{6+3+1} = b^{10}$.
Преобразуем знаменатель дроби по правилу $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(b^2)^4 = b^{2 \cdot 4} = b^8$.
Теперь упростим саму дробь, используя правило $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{b^{10}}{b^8} = b^{10-8} = b^2$.
Подставим упрощенное выражение обратно в исходное:
$b^2 - b^2 = 0$.
Ответ: $0$.

4) Упростим выражение $\frac{(3b^2)^2 9b^3}{3^4 b^6} + b$.
Сначала преобразуем числитель дроби. Применим правило возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$ и представим $9$ как $3^2$.
$(3b^2)^2 \cdot 9b^3 = (3^2 \cdot (b^2)^2) \cdot (3^2 \cdot b^3) = (3^2 b^4) \cdot (3^2 b^3)$.
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:
$(3^2 \cdot 3^2) \cdot (b^4 \cdot b^3) = 3^{2+2} \cdot b^{4+3} = 3^4 b^7$.
Теперь разделим полученный числитель на знаменатель $3^4 b^6$:
$\frac{3^4 b^7}{3^4 b^6} = \frac{3^4}{3^4} \cdot \frac{b^7}{b^6} = 1 \cdot b^{7-6} = b^1 = b$.
Подставим результат в исходное выражение:
$b + b = 2b$.
Ответ: $2b$.

5) Упростим выражение $(\frac{1}{m})^3 \cdot (\frac{1}{m})^2 m^5$.
Сначала умножим степени с одинаковым основанием $\frac{1}{m}$, используя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$(\frac{1}{m})^3 \cdot (\frac{1}{m})^2 = (\frac{1}{m})^{3+2} = (\frac{1}{m})^5$.
Теперь выражение имеет вид: $(\frac{1}{m})^5 \cdot m^5$.
Используем свойство $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$:
$(\frac{1}{m})^5 = \frac{1^5}{m^5} = \frac{1}{m^5}$.
Подставим это в выражение:
$\frac{1}{m^5} \cdot m^5 = \frac{m^5}{m^5} = 1$.
Ответ: $1$.

6) Упростим выражение $((\frac{1}{a})^4)^3 - (\frac{1}{a})^{11} \cdot \frac{1}{a}$.
Рассмотрим первое слагаемое. Применим правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:
$((\frac{1}{a})^4)^3 = (\frac{1}{a})^{4 \cdot 3} = (\frac{1}{a})^{12}$.
Рассмотрим второе слагаемое. Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. Учтем, что $\frac{1}{a} = (\frac{1}{a})^1$:
$(\frac{1}{a})^{11} \cdot (\frac{1}{a})^1 = (\frac{1}{a})^{11+1} = (\frac{1}{a})^{12}$.
Теперь подставим упрощенные части в исходное выражение:
$(\frac{1}{a})^{12} - (\frac{1}{a})^{12} = 0$.
Ответ: $0$.

771. Найти произведение одночленов:

1) $-12a^4bc^2d \cdot 5a^3d^4 \cdot (-3b^3cd^2);$

2) $49a^2bc^2 \cdot \left(-\frac{2}{7}ab\right) \cdot \frac{1}{14}ac;$

3) $\left(-\frac{2}{3}a^4b^2c\right) \cdot \frac{15}{2}abc^3;$

4) $\left(-\frac{4}{3}m^5n^3\right) \cdot \left(-\frac{3}{4}mn^3\right).$

1) Для нахождения произведения одночленов $-12a^4bc^2d \cdot 5a^3d^4 \cdot (-3b^3cd^2)$ необходимо последовательно перемножить их числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.

Сначала перемножим коэффициенты:
$(-12) \cdot 5 \cdot (-3) = -60 \cdot (-3) = 180$.

Теперь перемножим переменные, складывая их показатели степеней (на основании свойства $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$):
$a^4 \cdot a^3 = a^{4+3} = a^7$
$b \cdot b^3 = b^{1+3} = b^4$
$c^2 \cdot c = c^{2+1} = c^3$
$d \cdot d^4 \cdot d^2 = d^{1+4+2} = d^7$

Объединив числовой коэффициент и переменные, получаем итоговый одночлен: $180a^7b^4c^3d^7$.

Ответ: $180a^7b^4c^3d^7$.

2) Найдем произведение одночленов $49a^2bc^2 \cdot (-\frac{2}{7}ab) \cdot \frac{1}{14}ac$.

Вычислим произведение коэффициентов:
$49 \cdot (-\frac{2}{7}) \cdot \frac{1}{14} = -\frac{49 \cdot 2}{7 \cdot 14} = -\frac{7 \cdot 2}{14} = -\frac{14}{14} = -1$.

Вычислим произведение переменных:
$a^2 \cdot a \cdot a = a^{2+1+1} = a^4$
$b \cdot b = b^{1+1} = b^2$
$c^2 \cdot c = c^{2+1} = c^3$

Соединяем результаты: $-1 \cdot a^4b^2c^3 = -a^4b^2c^3$.

Ответ: $-a^4b^2c^3$.

3) Вычислим произведение $(-\frac{2}{3}a^4b^2c) \cdot \frac{15}{2}abc^3$.

Перемножим коэффициенты:
$-\frac{2}{3} \cdot \frac{15}{2} = -\frac{2 \cdot 15}{3 \cdot 2} = -\frac{15}{3} = -5$.

Перемножим переменные:
$a^4 \cdot a = a^{4+1} = a^5$
$b^2 \cdot b = b^{2+1} = b^3$
$c \cdot c^3 = c^{1+3} = c^4$

Итоговый одночлен: $-5a^5b^3c^4$.

Ответ: $-5a^5b^3c^4$.

4) Найдем произведение $(-\frac{4}{3}m^5n^3) \cdot (-\frac{3}{4}mn^3)$.

Произведение числовых коэффициентов:
$(-\frac{4}{3}) \cdot (-\frac{3}{4}) = \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 4} = 1$.

Произведение переменных:
$m^5 \cdot m = m^{5+1} = m^6$
$n^3 \cdot n^3 = n^{3+3} = n^6$

Объединив результаты, получаем: $1 \cdot m^6n^6 = m^6n^6$.

Ответ: $m^6n^6$.

772. Возвести одночлен в степень:

1) $(-2ab^2)^3$;

2) $(-0.8ac^2)^2$;

3) $\left(-\frac{3}{5}abc^3\right)^3$;

4) $\left(-\frac{1}{2}ab^2c^3\right)^4$.

1) Для того чтобы возвести одночлен $(-2ab^2)$ в третью степень, необходимо каждый его множитель возвести в эту степень. Применяются следующие свойства степеней: возведение произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$ и возведение степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$.

Выполним вычисления пошагово:
$(-2ab^2)^3 = (-2)^3 \cdot a^3 \cdot (b^2)^3$.
Отдельно вычислим степень каждого множителя:
Коэффициент: $(-2)^3 = -8$.
Переменная $a$: $a^3$.
Переменная $b$: $(b^2)^3 = b^{2 \cdot 3} = b^6$.
Собрав все вместе, получаем результат: $-8a^3b^6$.

Ответ: $-8a^3b^6$.

2) Возведем одночлен $(-0,8ac^2)$ во вторую степень. Для этого возведем в квадрат каждый множитель. При возведении отрицательного числа в четную степень (в данном случае 2) результат будет положительным.

Выполним вычисления:
$(-0,8ac^2)^2 = (-0,8)^2 \cdot a^2 \cdot (c^2)^2$.
Вычислим степени множителей:
Коэффициент: $(-0,8)^2 = 0,64$.
Переменная $a$: $a^2$.
Переменная $c$: $(c^2)^2 = c^{2 \cdot 2} = c^4$.
Результат: $0,64a^2c^4$.

Ответ: $0,64a^2c^4$.

3) Возведем одночлен $(-\frac{3}{5}abc^3)$ в третью степень. Поскольку степень нечетная (3), знак минус у коэффициента сохранится.

Выполним вычисления:
$(-\frac{3}{5}abc^3)^3 = (-\frac{3}{5})^3 \cdot a^3 \cdot b^3 \cdot (c^3)^3$.
Вычислим степени множителей:
Коэффициент: $(-\frac{3}{5})^3 = -\frac{3^3}{5^3} = -\frac{27}{125}$.
Переменная $a$: $a^3$.
Переменная $b$: $b^3$.
Переменная $c$: $(c^3)^3 = c^{3 \cdot 3} = c^9$.
Результат: $-\frac{27}{125}a^3b^3c^9$.

Ответ: $-\frac{27}{125}a^3b^3c^9$.

4) Возведем одночлен $(-\frac{1}{2}ab^2c^3)$ в четвертую степень. Поскольку степень четная (4), отрицательный коэффициент станет положительным.

Выполним вычисления:
$(-\frac{1}{2}ab^2c^3)^4 = (-\frac{1}{2})^4 \cdot a^4 \cdot (b^2)^4 \cdot (c^3)^4$.
Вычислим степени множителей:
Коэффициент: $(-\frac{1}{2})^4 = \frac{1^4}{2^4} = \frac{1}{16}$.
Переменная $a$: $a^4$.
Переменная $b$: $(b^2)^4 = b^{2 \cdot 4} = b^8$.
Переменная $c$: $(c^3)^4 = c^{3 \cdot 4} = c^{12}$.
Результат: $\frac{1}{16}a^4b^8c^{12}$.

Ответ: $\frac{1}{16}a^4b^8c^{12}$.

773. Упростить выражение:

1) $2a^2 + 2ab + 3b^2 - a^2 - 2b^2;$

2) $a^2 + ab + b^2 + (2a^2 + 3ab - 2b^2) + (a^2 + ab + 2b^2);$

3) $7a^2 + 2b^2 - (6a^2 + b^2);$

4) $4a^2 + 2a + 1 - (1 + 2a - 4a^2).$

1) $2a^2 + 2ab + 3b^2 - a^2 - 2b^2$

Для упрощения этого выражения необходимо сгруппировать и привести подобные слагаемые. Подобные слагаемые — это члены, имеющие одинаковую буквенную часть.

Группируем слагаемые с $a^2$, $ab$ и $b^2$:

$(2a^2 - a^2) + 2ab + (3b^2 - 2b^2)$

Выполняем вычисления в каждой группе:

$2a^2 - a^2 = a^2$

$3b^2 - 2b^2 = b^2$

Слагаемое $2ab$ остается без изменений. Собираем все вместе, получаем упрощенное выражение:

$a^2 + 2ab + b^2$

Ответ: $a^2 + 2ab + b^2$

2) $a^2 + ab + b^2 + (2a^2 + 3ab - 2b^2) + (a^2 + ab + 2b^2)$

Сначала необходимо раскрыть скобки. Так как перед обеими скобками стоит знак «+», знаки слагаемых внутри скобок не меняются.

$a^2 + ab + b^2 + 2a^2 + 3ab - 2b^2 + a^2 + ab + 2b^2$

Теперь приведем подобные слагаемые, сгруппировав их:

$(a^2 + 2a^2 + a^2) + (ab + 3ab + ab) + (b^2 - 2b^2 + 2b^2)$

Выполняем сложение в каждой группе:

$4a^2 + 5ab + b^2$

Ответ: $4a^2 + 5ab + b^2$

3) $7a^2 + 2b^2 - (6a^2 + b^2)$

Раскроем скобки. Так как перед скобкой стоит знак «-», все знаки слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

$7a^2 + 2b^2 - 6a^2 - b^2$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$(7a^2 - 6a^2) + (2b^2 - b^2) = a^2 + b^2$

Ответ: $a^2 + b^2$

4) $4a^2 + 2a + 1 - (1 + 2a - 4a^2)$

Раскроем скобки. Знак «-» перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные: $1$ станет $-1$, $+2a$ станет $-2a$, и $-4a^2$ станет $+4a^2$.

$4a^2 + 2a + 1 - 1 - 2a + 4a^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(4a^2 + 4a^2) + (2a - 2a) + (1 - 1)$

Выполняем действия в каждой группе:

$8a^2 + 0 + 0 = 8a^2$

Ответ: $8a^2$

774. Выполнить умножение многочлена на одночлен:

1) $(a^2 - ab + b^2) \cdot 3ab^3;$

2) $(2m^2 - 3mn + 4n^2) \cdot \frac{1}{12}m^2n^2;$

3) $(6a^3 - 4ab^2 + 1) \cdot \frac{1}{2}ab;$

4) $(8m^3 - 7m^2n + 1) \cdot \frac{1}{8}mn.$

1) Для того чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен и полученные результаты сложить, используя распределительное свойство умножения.

$(a^2 - ab + b^2) \cdot 3ab^3 = a^2 \cdot (3ab^3) - ab \cdot (3ab^3) + b^2 \cdot (3ab^3)$

Применяя правило умножения степеней с одинаковыми основаниями ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$), выполним умножение для каждого члена:

$a^2 \cdot 3ab^3 = 3a^{2+1}b^3 = 3a^3b^3$

$-ab \cdot 3ab^3 = -3a^{1+1}b^{1+3} = -3a^2b^4$

$b^2 \cdot 3ab^3 = 3ab^{2+3} = 3ab^5$

Результатом является многочлен:

$3a^3b^3 - 3a^2b^4 + 3ab^5$

Ответ: $3a^3b^3 - 3a^2b^4 + 3ab^5$.

2) Умножим каждый член многочлена $(2m^2 - 3mn + 4n^2)$ на одночлен $\frac{1}{12}m^2n^2$.

$(2m^2 - 3mn + 4n^2) \cdot \frac{1}{12}m^2n^2 = 2m^2 \cdot (\frac{1}{12}m^2n^2) - 3mn \cdot (\frac{1}{12}m^2n^2) + 4n^2 \cdot (\frac{1}{12}m^2n^2)$

Выполним умножение для каждого члена, складывая степени и умножая коэффициенты:

$2m^2 \cdot \frac{1}{12}m^2n^2 = \frac{2}{12}m^{2+2}n^2 = \frac{1}{6}m^4n^2$

$-3mn \cdot \frac{1}{12}m^2n^2 = -\frac{3}{12}m^{1+2}n^{1+2} = -\frac{1}{4}m^3n^3$

$4n^2 \cdot \frac{1}{12}m^2n^2 = \frac{4}{12}m^2n^{2+2} = \frac{1}{3}m^2n^4$

Результатом является многочлен:

$\frac{1}{6}m^4n^2 - \frac{1}{4}m^3n^3 + \frac{1}{3}m^2n^4$

Ответ: $\frac{1}{6}m^4n^2 - \frac{1}{4}m^3n^3 + \frac{1}{3}m^2n^4$.

3) Умножим многочлен $(6a^3 - 4ab^2 + 1)$ на одночлен $\frac{1}{2}ab$.

$(6a^3 - 4ab^2 + 1) \cdot \frac{1}{2}ab = 6a^3 \cdot (\frac{1}{2}ab) - 4ab^2 \cdot (\frac{1}{2}ab) + 1 \cdot (\frac{1}{2}ab)$

Выполним умножение для каждого члена:

$6a^3 \cdot \frac{1}{2}ab = \frac{6}{2}a^{3+1}b = 3a^4b$

$-4ab^2 \cdot \frac{1}{2}ab = -\frac{4}{2}a^{1+1}b^{2+1} = -2a^2b^3$

$1 \cdot \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ab$

Результатом является многочлен:

$3a^4b - 2a^2b^3 + \frac{1}{2}ab$

Ответ: $3a^4b - 2a^2b^3 + \frac{1}{2}ab$.

4) Умножим многочлен $(8m^3 - 7m^2n + 1)$ на одночлен $\frac{1}{8}mn$.

$(8m^3 - 7m^2n + 1) \cdot \frac{1}{8}mn = 8m^3 \cdot (\frac{1}{8}mn) - 7m^2n \cdot (\frac{1}{8}mn) + 1 \cdot (\frac{1}{8}mn)$

Выполним умножение для каждого члена:

$8m^3 \cdot \frac{1}{8}mn = \frac{8}{8}m^{3+1}n = m^4n$

$-7m^2n \cdot \frac{1}{8}mn = -\frac{7}{8}m^{2+1}n^{1+1} = -\frac{7}{8}m^3n^2$

$1 \cdot \frac{1}{8}mn = \frac{1}{8}mn$

Результатом является многочлен:

$m^4n - \frac{7}{8}m^3n^2 + \frac{1}{8}mn$

Ответ: $m^4n - \frac{7}{8}m^3n^2 + \frac{1}{8}mn$.

775. Выполнить умножение многочленов:

1) $ (a^2+3ab+b^2)(7a-5b) $;

2) $ (3a^2-6ab^2+2b^2)(4ab-1) $;

3) $ (a+3b-4c)(a-3b-4c) $;

4) $ (m+n-2)(m-n+2) $;

5) $ \left(\frac{1}{3}a^2b - \frac{2}{5}ab^2\right)(15a-30b) $;

6) $ \left(\frac{1}{2}a^2+4a+1\right)(3a-1) $.

1) Для выполнения умножения многочленов $(a^2 + 3ab + b^2)$ и $(7a - 5b)$ необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и сложить полученные произведения.

$(a^2 + 3ab + b^2)(7a - 5b) = a^2 \cdot (7a - 5b) + 3ab \cdot (7a - 5b) + b^2 \cdot (7a - 5b)$

Раскрываем скобки:

$= (7a^3 - 5a^2b) + (21a^2b - 15ab^2) + (7ab^2 - 5b^3)$

Объединяем все слагаемые и приводим подобные:

$= 7a^3 - 5a^2b + 21a^2b - 15ab^2 + 7ab^2 - 5b^3$

$= 7a^3 + (-5 + 21)a^2b + (-15 + 7)ab^2 - 5b^3$

$= 7a^3 + 16a^2b - 8ab^2 - 5b^3$

Ответ: $7a^3 + 16a^2b - 8ab^2 - 5b^3$

2) Умножим многочлен $(3a^2 - 6ab^2 + 2b^2)$ на $(4ab - 1)$, распределяя каждый член первого многочлена на второй.

$(3a^2 - 6ab^2 + 2b^2)(4ab - 1) = 3a^2(4ab - 1) - 6ab^2(4ab - 1) + 2b^2(4ab - 1)$

Раскрываем скобки:

$= (3a^2 \cdot 4ab - 3a^2 \cdot 1) - (6ab^2 \cdot 4ab - 6ab^2 \cdot 1) + (2b^2 \cdot 4ab - 2b^2 \cdot 1)$

$= (12a^3b - 3a^2) - (24a^2b^3 - 6ab^2) + (8ab^3 - 2b^2)$

$= 12a^3b - 3a^2 - 24a^2b^3 + 6ab^2 + 8ab^3 - 2b^2$

В данном выражении нет подобных слагаемых. Упорядочим члены по степеням переменных для стандартного вида:

$-24a^2b^3 + 12a^3b + 8ab^3 + 6ab^2 - 3a^2 - 2b^2$

Ответ: $12a^3b - 24a^2b^3 + 8ab^3 + 6ab^2 - 3a^2 - 2b^2$

3) В выражении $(a + 3b - 4c)(a - 3b - 4c)$ можно заметить формулу разности квадратов. Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$((a - 4c) + 3b)((a - 4c) - 3b)$

Применим формулу $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, где $x = a - 4c$ и $y = 3b$:

$= (a - 4c)^2 - (3b)^2$

Теперь раскроем скобки. Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$ для первого слагаемого:

$(a - 4c)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 4c + (4c)^2 = a^2 - 8ac + 16c^2$

Возведем в квадрат второе слагаемое:

$(3b)^2 = 9b^2$

Подставим полученные выражения обратно:

$a^2 - 8ac + 16c^2 - 9b^2$

Запишем в стандартном виде:

$a^2 - 9b^2 + 16c^2 - 8ac$

Ответ: $a^2 - 9b^2 + 16c^2 - 8ac$

4) В выражении $(m + n - 2)(m - n + 2)$ также можно применить формулу разности квадратов. Сгруппируем слагаемые:

$(m + (n - 2))(m - (n - 2))$

Здесь мы видим вид $(x+y)(x-y)$, где $x=m$ и $y=n-2$. Применим формулу $x^2 - y^2$:

$= m^2 - (n - 2)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$= m^2 - (n^2 - 2 \cdot n \cdot 2 + 2^2)$

$= m^2 - (n^2 - 4n + 4)$

Раскроем скобки, изменив знаки на противоположные:

$= m^2 - n^2 + 4n - 4$

Ответ: $m^2 - n^2 + 4n - 4$

5) Для умножения $(\frac{1}{3}a^2b - \frac{2}{5}ab^2)(15a - 30b)$ можно сначала вынести общий множитель из второй скобки:

$15a - 30b = 15(a - 2b)$

Теперь умножим число 15 на первую скобку, чтобы избавиться от дробей:

$15 \cdot (\frac{1}{3}a^2b - \frac{2}{5}ab^2) = (\frac{15}{3}a^2b - \frac{15 \cdot 2}{5}ab^2) = (5a^2b - 6ab^2)$

Теперь задача сводится к умножению $(5a^2b - 6ab^2)(a - 2b)$:

$= 5a^2b(a - 2b) - 6ab^2(a - 2b)$

$= (5a^3b - 10a^2b^2) - (6a^2b^2 - 12ab^3)$

$= 5a^3b - 10a^2b^2 - 6a^2b^2 + 12ab^3$

Приведем подобные слагаемые:

$= 5a^3b - 16a^2b^2 + 12ab^3$

Ответ: $5a^3b - 16a^2b^2 + 12ab^3$

6) Умножим многочлен $(\frac{1}{2}a^2 + 4a + 1)$ на $(3a - 1)$.

$(\frac{1}{2}a^2 + 4a + 1)(3a - 1) = \frac{1}{2}a^2(3a - 1) + 4a(3a - 1) + 1(3a - 1)$

Раскроем скобки:

$= (\frac{1}{2}a^2 \cdot 3a - \frac{1}{2}a^2 \cdot 1) + (4a \cdot 3a - 4a \cdot 1) + (3a - 1)$

$= \frac{3}{2}a^3 - \frac{1}{2}a^2 + 12a^2 - 4a + 3a - 1$

Приведем подобные слагаемые:

$= \frac{3}{2}a^3 + (-\frac{1}{2}a^2 + 12a^2) + (-4a + 3a) - 1$

$= \frac{3}{2}a^3 + (-\frac{1}{2}a^2 + \frac{24}{2}a^2) - a - 1$

$= \frac{3}{2}a^3 + \frac{23}{2}a^2 - a - 1$

Ответ: $\frac{3}{2}a^3 + \frac{23}{2}a^2 - a - 1$