Страница 256 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

7. Дана система уравнений

$$ \begin{cases} ax + 3y = a, \\ (a - 2)x + y = 1. \end{cases} $$

При каких значениях a данная система имеет единственное решение?

Данная система является системой двух линейных уравнений с двумя переменными x и y:

$ \begin{cases} ax + 3y = a \\ (a-2)x + y = 1 \end{cases} $

Такая система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель основной матрицы системы не равен нулю. Основная матрица системы состоит из коэффициентов при переменных x и y.

Запишем коэффициенты в общем виде для системы $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $ и для нашей системы:

$a_1 = a$, $b_1 = 3$
$a_2 = a-2$, $b_2 = 1$

Определитель основной матрицы (обозначим его $\Delta$) вычисляется по формуле:

$\Delta = a_1 b_2 - a_2 b_1$

Подставим коэффициенты нашей системы в эту формулу:

$\Delta = a \cdot 1 - (a-2) \cdot 3$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$\Delta = a - (3a - 6) = a - 3a + 6 = 6 - 2a$

Условие единственности решения системы — это $\Delta \ne 0$.

Следовательно, мы должны решить неравенство:

$6 - 2a \ne 0$

Перенесем $2a$ в правую часть:

$6 \ne 2a$

Разделим обе части на 2:

$3 \ne a$

Таким образом, система имеет единственное решение при любых значениях параметра a, кроме $a=3$.

Для полноты решения можно рассмотреть случай $a=3$. Если $a=3$, то определитель $\Delta = 6 - 2 \cdot 3 = 0$. Система принимает вид:

$ \begin{cases} 3x + 3y = 3 \\ (3-2)x + y = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x + y = 1 \\ x + y = 1 \end{cases} $

В этом случае оба уравнения системы становятся идентичными. Геометрически это означает, что две прямые сливаются в одну. Такая система имеет бесконечное множество решений (любая пара чисел $(x, y)$, удовлетворяющая уравнению $x+y=1$). Это подтверждает, что при $a=3$ единственного решения нет.

Ответ: система имеет единственное решение при $a \ne 3$.

8. Дан график уравнения первой степени с двумя неизвестными, который проходит через точки $(0; -6)$ и $(3; 0)$. При каком значении $a$ график уравнения $ax+3y=4$ не пересечёт данный график?

Два графика уравнений первой степени (прямые) не пересекаются в том и только в том случае, если они параллельны. Условием параллельности двух прямых $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$ является равенство их угловых коэффициентов ($k_1 = k_2$) и неравенство их свободных членов ($b_1 \neq b_2$), что гарантирует, что прямые не совпадают.

Сначала найдем уравнение первой прямой. Общий вид уравнения прямой — $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член (ордината точки пересечения с осью Y).

Прямая проходит через точку $(0; -6)$. Подставим эти координаты в уравнение:
$-6 = k \cdot 0 + b$
Отсюда следует, что $b = -6$.

Теперь используем вторую точку $(3; 0)$ и найденное значение $b = -6$:
$0 = k \cdot 3 - 6$
$3k = 6$
$k_1 = 2$

Итак, уравнение первой прямой: $y = 2x - 6$. Ее угловой коэффициент $k_1 = 2$.

Далее, рассмотрим второе уравнение $ax + 3y = 4$. Приведем его к виду $y = kx + b$, чтобы определить его угловой коэффициент.
$3y = -ax + 4$
$y = -\frac{a}{3}x + \frac{4}{3}$

Угловой коэффициент второй прямой $k_2 = -\frac{a}{3}$. Свободный член $b_2 = \frac{4}{3}$.

Чтобы прямые были параллельны, их угловые коэффициенты должны быть равны:
$k_1 = k_2$
$2 = -\frac{a}{3}$

Решим это уравнение относительно $a$:
$a = 2 \cdot (-3)$
$a = -6$

При $a = -6$ угловые коэффициенты равны. Свободные члены при этом $b_1 = -6$ и $b_2 = \frac{4}{3}$ не равны, значит, прямые параллельны и не пересекаются.

Ответ: $a = -6$

9. Один и тот же товар компания продавала в двух разных городах. В первом городе товар был продан с прибылью $20 \%$, а во втором — с прибылью $50 \%$. Общая прибыль компании оказалась равной $30 \%$. В каком городе товара продали больше и во сколько раз?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• Пусть $C$ — себестоимость одной единицы товара.
• Пусть $n_1$ — количество единиц товара, проданных в первом городе.
• Пусть $n_2$ — количество единиц товара, проданных во втором городе.

Прибыль в данной задаче указана в процентах от себестоимости.

Прибыль, полученная в первом городе с наценкой 20%, составляет: $P_1 = 0.2 \cdot C \cdot n_1$.

Прибыль, полученная во втором городе с наценкой 50%, составляет: $P_2 = 0.5 \cdot C \cdot n_2$.

Общая себестоимость всех проданных товаров равна: $C_{общ} = C \cdot (n_1 + n_2)$.

Общая прибыль компании — это сумма прибылей в двух городах: $P_{общ} = P_1 + P_2 = (0.2 n_1 + 0.5 n_2) \cdot C$.

По условию, общая прибыль составила 30% от общей себестоимости, то есть: $P_{общ} = 0.3 \cdot C_{общ}$.

Приравняем два выражения для общей прибыли, подставив в них известные данные:

$(0.2 n_1 + 0.5 n_2) \cdot C = 0.3 \cdot C \cdot (n_1 + n_2)$

Поскольку себестоимость $C$ — положительная величина, мы можем разделить обе части уравнения на $C$:

$0.2 n_1 + 0.5 n_2 = 0.3(n_1 + n_2)$

Раскроем скобки:

$0.2 n_1 + 0.5 n_2 = 0.3 n_1 + 0.3 n_2$

Сгруппируем слагаемые с $n_1$ и $n_2$ на разных сторонах уравнения:

$0.5 n_2 - 0.3 n_2 = 0.3 n_1 - 0.2 n_1$

Выполним вычитание:

$0.2 n_2 = 0.1 n_1$

Из этого соотношения видно, в каком городе продали больше. Чтобы найти, во сколько раз, выразим отношение $n_1$ к $n_2$:

$\frac{n_1}{n_2} = \frac{0.2}{0.1} = 2$

Это означает, что $n_1 = 2n_2$. Следовательно, в первом городе (где прибыль 20%) было продано в 2 раза больше товара, чем во втором (где прибыль 50%).

Ответ: В первом городе товара продали больше, в 2 раза.