Страница 253 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

755. Решить систему уравнений:

1) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{7}{12} \\ \frac{2}{y} - \frac{1}{x} = \frac{1}{6} \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{5}{y} = 35 \\ \frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 27 \end{cases}$

3) $\begin{cases} \frac{3}{x+y} + \frac{5}{x-y} = 4 \\ \frac{1}{x+y} + \frac{15}{x-y} = 4 \end{cases}$

4) $\begin{cases} \frac{10}{x+y} - \frac{4}{x-y} = 3 \\ \frac{7}{x+y} - \frac{6}{x-y} = 2 \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{7}{12} \\ \frac{2}{y} - \frac{1}{x} = \frac{1}{6} \end{cases} $$

Для удобства решения введем новые переменные. Пусть $a = \frac{1}{x}$ и $b = \frac{1}{y}$. Тогда система примет вид:

$$ \begin{cases} a + b = \frac{7}{12} \\ 2b - a = \frac{1}{6} \end{cases} $$

Перепишем второе уравнение, чтобы переменные стояли в одном порядке:

$$ \begin{cases} a + b = \frac{7}{12} \\ -a + 2b = \frac{1}{6} \end{cases} $$

Сложим два уравнения системы, чтобы исключить переменную $a$:

$(a + b) + (-a + 2b) = \frac{7}{12} + \frac{1}{6}$

$3b = \frac{7}{12} + \frac{2}{12}$

$3b = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$

$b = \frac{3}{4 \cdot 3} = \frac{1}{4}$

Теперь подставим найденное значение $b$ в первое уравнение системы ($a + b = \frac{7}{12}$):

$a + \frac{1}{4} = \frac{7}{12}$

$a = \frac{7}{12} - \frac{1}{4} = \frac{7}{12} - \frac{3}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Мы нашли значения $a$ и $b$. Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$a = \frac{1}{x} \implies \frac{1}{3} = \frac{1}{x} \implies x = 3$

$b = \frac{1}{y} \implies \frac{1}{4} = \frac{1}{y} \implies y = 4$

Проверим найденное решение $(3, 4)$:

$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4+3}{12} = \frac{7}{12}$ (верно)

$\frac{2}{4} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6}$ (верно)

Ответ: $(3, 4)$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{5}{y} = 35 \\ \frac{3}{x} + \frac{2}{x} = 27 \end{cases} $$

Обратим внимание на второе уравнение. В нем оба слагаемых содержат переменную $x$ в знаменателе. Упростим это уравнение:

$\frac{3}{x} + \frac{2}{x} = \frac{3+2}{x} = \frac{5}{x}$

Таким образом, второе уравнение системы имеет вид:

$\frac{5}{x} = 27$

Из этого уравнения мы можем сразу найти значение $x$:

$x = \frac{5}{27}$

Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение системы ($\frac{1}{x} + \frac{5}{y} = 35$).

Так как $x = \frac{5}{27}$, то $\frac{1}{x} = \frac{27}{5}$.

$\frac{27}{5} + \frac{5}{y} = 35$

Теперь решим это уравнение относительно $y$:

$\frac{5}{y} = 35 - \frac{27}{5}$

$\frac{5}{y} = \frac{35 \cdot 5}{5} - \frac{27}{5} = \frac{175 - 27}{5} = \frac{148}{5}$

Из равенства $\frac{5}{y} = \frac{148}{5}$ находим $y$:

$y = \frac{5 \cdot 5}{148} = \frac{25}{148}$

Ответ: $(\frac{5}{27}, \frac{25}{148})$.

3)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{3}{x+y} + \frac{5}{x-y} = 4 \\ \frac{1}{x+y} + \frac{15}{x-y} = 4 \end{cases} $$

Для решения этой системы удобно использовать метод замены переменных. Пусть $a = \frac{1}{x+y}$ и $b = \frac{1}{x-y}$. Система примет вид:

$$ \begin{cases} 3a + 5b = 4 \\ a + 15b = 4 \end{cases} $$

Решим эту систему линейных уравнений. Из второго уравнения выразим $a$: $a = 4 - 15b$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$3(4 - 15b) + 5b = 4$

$12 - 45b + 5b = 4$

$12 - 40b = 4$

$40b = 12 - 4 = 8$

$b = \frac{8}{40} = \frac{1}{5}$

Теперь найдем $a$:

$a = 4 - 15b = 4 - 15 \cdot \frac{1}{5} = 4 - 3 = 1$

Мы нашли, что $a=1$ и $b=\frac{1}{5}$. Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$a = \frac{1}{x+y} = 1 \implies x+y = 1$

$b = \frac{1}{x-y} = \frac{1}{5} \implies x-y = 5$

Теперь у нас есть новая, более простая система уравнений:

$$ \begin{cases} x+y = 1 \\ x-y = 5 \end{cases} $$

Сложим два уравнения этой системы:

$(x+y) + (x-y) = 1 + 5$

$2x = 6 \implies x = 3$

Подставим значение $x=3$ в первое уравнение ($x+y=1$):

$3 + y = 1 \implies y = 1 - 3 = -2$

Ответ: $(3, -2)$.

4)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{10}{x+y} - \frac{4}{x-y} = 3 \\ \frac{7}{x+y} - \frac{6}{x-y} = 2 \end{cases} $$

Как и в предыдущем примере, введем замену переменных: $a = \frac{1}{x+y}$ и $b = \frac{1}{x-y}$. Система уравнений примет вид:

$$ \begin{cases} 10a - 4b = 3 \\ 7a - 6b = 2 \end{cases} $$

Решим эту систему методом алгебраического сложения (вычитания). Чтобы коэффициенты при $b$ стали одинаковыми по модулю, умножим первое уравнение на 3, а второе на 2:

$$ \begin{cases} 3(10a - 4b) = 3 \cdot 3 \\ 2(7a - 6b) = 2 \cdot 2 \end{cases} \implies \begin{cases} 30a - 12b = 9 \\ 14a - 12b = 4 \end{cases} $$

Теперь вычтем второе уравнение из первого:

$(30a - 12b) - (14a - 12b) = 9 - 4$

$16a = 5 \implies a = \frac{5}{16}$

Подставим найденное значение $a$ в первое исходное уравнение для $a$ и $b$ ($10a - 4b = 3$):

$10 \cdot \frac{5}{16} - 4b = 3$

$\frac{50}{16} - 4b = 3 \implies \frac{25}{8} - 4b = 3$

$4b = \frac{25}{8} - 3 = \frac{25}{8} - \frac{24}{8} = \frac{1}{8}$

$b = \frac{1}{8 \cdot 4} = \frac{1}{32}$

Вернемся к переменным $x$ и $y$:

$a = \frac{1}{x+y} = \frac{5}{16} \implies x+y = \frac{16}{5}$

$b = \frac{1}{x-y} = \frac{1}{32} \implies x-y = 32$

Получили новую систему:

$$ \begin{cases} x+y = \frac{16}{5} \\ x-y = 32 \end{cases} $$

Сложим уравнения этой системы:

$(x+y) + (x-y) = \frac{16}{5} + 32$

$2x = \frac{16}{5} + \frac{160}{5} = \frac{176}{5}$

$x = \frac{176}{5 \cdot 2} = \frac{88}{5}$

Подставим значение $x$ в первое уравнение ($x+y = \frac{16}{5}$):

$\frac{88}{5} + y = \frac{16}{5}$

$y = \frac{16}{5} - \frac{88}{5} = -\frac{72}{5}$

Ответ: $(\frac{88}{5}, -\frac{72}{5})$.

756. Антикварный магазин, купив две старинные вазы на общую сумму 360 000 р., продал их, получив 25 % прибыли. За сколько была продана каждая ваза, если наценка на первую вазу была 50 %, а на вторую — 12,5 %?

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений.

Пусть $x$ – закупочная цена первой вазы в рублях, а $y$ – закупочная цена второй вазы в рублях.

Поскольку общая сумма покупки двух ваз составила 360 000 рублей, мы можем составить первое уравнение:
$x + y = 360000$

Общая прибыль от продажи составила 25%. Найдем общую выручку (сумму, за которую были проданы обе вазы):
$360000 \cdot (1 + \frac{25}{100}) = 360000 \cdot 1.25 = 450000$ рублей.

Продажная цена первой вазы с наценкой 50% составляет $x \cdot (1 + \frac{50}{100}) = 1.5x$.
Продажная цена второй вазы с наценкой 12,5% составляет $y \cdot (1 + \frac{12.5}{100}) = 1.125y$.

Сумма продажных цен обеих ваз равна общей выручке, что дает нам второе уравнение:
$1.5x + 1.125y = 450000$

Получаем систему из двух уравнений:
$\begin{cases} x + y = 360000 \\ 1.5x + 1.125y = 450000 \end{cases}$

Выразим $y$ из первого уравнения: $y = 360000 - x$.
Подставим это выражение во второе уравнение и решим его:
$1.5x + 1.125(360000 - x) = 450000$
$1.5x + 405000 - 1.125x = 450000$
$0.375x = 450000 - 405000$
$0.375x = 45000$
$x = \frac{45000}{0.375} = 120000$

Закупочная цена первой вазы равна 120 000 рублей. Теперь найдем закупочную цену второй вазы:
$y = 360000 - 120000 = 240000$ рублей.

Наконец, вычислим продажную цену каждой вазы:
Продажная цена первой вазы: $1.5 \cdot 120000 = 180000$ рублей.
Продажная цена второй вазы: $1.125 \cdot 240000 = 270000$ рублей.

Ответ: первая ваза была продана за 180 000 рублей, а вторая — за 270 000 рублей.

1. (Из VII книги древнекитайского трактата «Математика в девяти книгах».) Имеется 9 слитков золота и 11 слитков серебра, их взвесили, вес совпал. Переложили слиток золота и слиток серебра, золото стало легче на 13 ланов. Каков вес слитка золота и слитка серебра, каждого в отдельности?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть вес одного слитка золота равен $x$ ланов, а вес одного слитка серебра — $y$ ланов.

Согласно первому условию, вес 9 слитков золота равен весу 11 слитков серебра. На основе этого мы можем составить первое уравнение:

$9x = 11y$

Далее, с каждой стороны весов поменяли по одному слитку. На чаше, где изначально было золото, теперь лежат 8 слитков золота и 1 слиток серебра. Их общий вес составляет $8x + y$. На другой чаше, где было серебро, теперь лежат 10 слитков серебра и 1 слиток золота. Их общий вес составляет $10y + x$.

По второму условию, чаша с золотом стала легче на 13 ланов. Это означает, что вес на второй чаше (бывшей "серебряной") на 13 ланов больше, чем вес на первой (бывшей "золотой"). Составим второе уравнение:

$(10y + x) - (8x + y) = 13$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} 9x = 11y \\ (10y + x) - (8x + y) = 13 \end{cases}$

Упростим второе уравнение:

$10y + x - 8x - y = 13$

$9y - 7x = 13$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} 9x = 11y \\ 9y - 7x = 13 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = \frac{11}{9}y$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

$9y - 7\left(\frac{11}{9}y\right) = 13$

$9y - \frac{77}{9}y = 13$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 9:

$9 \cdot 9y - 9 \cdot \frac{77}{9}y = 13 \cdot 9$

$81y - 77y = 117$

$4y = 117$

$y = \frac{117}{4} = 29.25$

Таким образом, вес одного слитка серебра составляет 29,25 лана.

Теперь найдем вес слитка золота, подставив найденное значение $y$ в выражение для $x$:

$x = \frac{11}{9}y = \frac{11}{9} \times 29.25 = \frac{11}{9} \times \frac{117}{4}$

Поскольку $117 = 9 \times 13$, мы можем сократить дробь:

$x = \frac{11 \times 13}{4} = \frac{143}{4} = 35.75$

Следовательно, вес одного слитка золота составляет 35,75 лана.

Ответ: вес слитка золота — 35,75 лана, вес слитка серебра — 29,25 лана.

2. (Задача Бхаскары.) Некто сказал другу: «Дай 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя». Друг ответил: «Дай мне только 10, и я стану в 6 раз богаче тебя». Сколько было у каждого?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ — это количество рупий у первого человека (того, кто заговорил первым), а $y$ — количество рупий у его друга.

Из первого условия («Дай 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя») следует, что если у первого станет $x + 100$ рупий, а у второго останется $y - 100$ рупий, то сумма первого будет вдвое больше. Это дает нам первое уравнение:

$x + 100 = 2(y - 100)$

Из второго условия («Дай мне только 10, и я стану в 6 раз богаче тебя») следует, что если у друга станет $y + 10$ рупий, а у первого останется $x - 10$ рупий, то сумма друга будет вшестеро больше. Это дает нам второе уравнение:

$y + 10 = 6(x - 10)$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x + 100 = 2(y - 100) \\ y + 10 = 6(x - 10) \end{cases}$

Сначала упростим оба уравнения. Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$x + 100 = 2y - 200$

$x = 2y - 300$

Упростим второе уравнение:

$y + 10 = 6x - 60$

$6x - y = 70$

Теперь подставим выражение для $x$ во второе упрощенное уравнение:

$6(2y - 300) - y = 70$

Решим полученное уравнение относительно $y$:

$12y - 1800 - y = 70$

$11y = 1800 + 70$

$11y = 1870$

$y = \frac{1870}{11} = 170$

Таким образом, у друга было 170 рупий. Теперь найдем количество рупий у первого человека, подставив найденное значение $y$:

$x = 2y - 300 = 2 \cdot 170 - 300 = 340 - 300 = 40$

Итак, у первого человека было 40 рупий, а у его друга — 170 рупий.

Проверим: если первый получит 100 рупий, у него станет $40 + 100 = 140$, а у друга останется $170 - 100 = 70$ ($140 = 2 \cdot 70$); если второй получит 10 рупий, у него станет $170 + 10 = 180$, а у первого останется $40 - 10 = 30$ ($180 = 6 \cdot 30$). Оба условия выполняются.

Ответ: У первого человека было 40 рупий, у второго — 170 рупий.

3. (Из трактата «Математика в девяти книгах».) Сообща покупают курицу. Если каждый человек внесёт по 9 монет, то останется 11, если же каждый внесёт по 6 монет, то не хватит 16. Найти количество людей и стоимость курицы.

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — это количество людей, а $y$ — стоимость курицы в монетах.

Из первого условия следует, что если каждый из $x$ человек внесет по 9 монет, то общая сумма $9x$ будет на 11 монет больше стоимости курицы $y$. Это можно записать как первое уравнение:

$9x = y + 11$

Из второго условия следует, что если каждый из $x$ человек внесет по 6 монет, то общая сумма $6x$ будет на 16 монет меньше стоимости курицы $y$. Это можно записать как второе уравнение:

$6x = y - 16$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Выразим $y$ из каждого уравнения:

$y = 9x - 11$

$y = 6x + 16$

Поскольку левые части обоих уравнений равны, мы можем приравнять их правые части, чтобы найти количество людей $x$:

$9x - 11 = 6x + 16$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую:

$9x - 6x = 16 + 11$

$3x = 27$

Разделим обе части на 3:

$x = \frac{27}{3}$

$x = 9$

Таким образом, количество людей равно 9.

Теперь найдем стоимость курицы $y$, подставив значение $x=9$ в любое из выражений для $y$. Воспользуемся первым:

$y = 9x - 11 = 9 \cdot 9 - 11 = 81 - 11 = 70$

Стоимость курицы составляет 70 монет.

Проверим решение: если 9 человек внесут по 9 монет, у них будет $9 \cdot 9 = 81$ монета, что на $81 - 70 = 11$ монет больше стоимости. Если они внесут по 6 монет, у них будет $9 \cdot 6 = 54$ монеты, что на $70 - 54 = 16$ монет меньше стоимости. Условия задачи выполняются.

Ответ: количество людей — 9, стоимость курицы — 70 монет.

4. (Из трактата «Математика в девяти книгах».) Имеется 5 воробьёв и 6 ласточек, их взвесили на весах. Вес всех воробьёв больше веса всех ласточек. Если переместить 1 ласточку и 1 воробья, то вес как раз будет одинаковым. Общий вес ласточек и воробьёв 1 цзинь. Спрашивается, сколько весят ласточка и воробей в отдельности.

Для решения этой старинной задачи введем переменные. Пусть $x$ — это вес одного воробья, а $y$ — вес одной ласточки. Единицей измерения будет цзинь.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.

Первое условие гласит, что если поменять местами одного воробья и одну ласточку, то весы придут в равновесие. Изначально на одной чаше весов 5 воробьёв (общий вес $5x$), а на другой 6 ласточек (общий вес $6y$). Причем вес воробьёв больше ($5x > 6y$).

После обмена на первой чаше окажется 4 воробья и 1 ласточка, а на второй — 5 ласточек и 1 воробей. Их веса станут равны:

$4x + y = 5y + x$

Второе условие — это общий вес всех птиц, который составляет 1 цзинь:

$5x + 6y = 1$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases}4x + y = 5y + x \\5x + 6y = 1\end{cases}$

Сначала упростим первое уравнение, перенеся переменные на разные стороны:

$4x - x = 5y - y$

$3x = 4y$

Из этого соотношения можно выразить $x$ через $y$ (или наоборот):

$x = \frac{4}{3}y$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$5\left(\frac{4}{3}y\right) + 6y = 1$

$\frac{20}{3}y + 6y = 1$

Чтобы сложить дроби, приведем $6y$ к знаменателю 3:

$\frac{20}{3}y + \frac{18}{3}y = 1$

$\frac{38}{3}y = 1$

Теперь мы можем найти вес одной ласточки ($y$):

$y = 1 \div \frac{38}{3} = 1 \cdot \frac{3}{38} = \frac{3}{38}$

Зная вес ласточки, найдем вес воробья ($x$), используя соотношение $x = \frac{4}{3}y$:

$x = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{38} = \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 38} = \frac{4}{38} = \frac{2}{19}$

Проверим первоначальное условие, что 5 воробьёв весят больше 6 ласточек:

$5x > 6y$

$5 \cdot \frac{2}{19} > 6 \cdot \frac{3}{38}$

$\frac{10}{19} > \frac{18}{38}$

$\frac{10}{19} > \frac{9}{19}$

Неравенство верно, значит, решение найдено правильно.

Вес ласточки

Как показано в решении, вес одной ласточки составляет $\frac{3}{38}$ цзиня.

Ответ: ласточка весит $\frac{3}{38}$ цзиня.

Вес воробья

Как показано в решении, вес одного воробья составляет $\frac{2}{19}$ цзиня.

Ответ: воробей весит $\frac{2}{19}$ цзиня.

5. (Из «Всеобщей арифметики» Ньютона.) Некто желает распределить между бедными деньги. Если бы у него было на 8 динариев больше, то он мог бы дать каждому по 3 динария, но он раздаёт лишь по 2 динария и у него остаётся 3 динария. Сколько было бедных?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество бедных, а $y$ — это количество динариев, которое было у человека изначально.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.

Первое условие: «Если бы у него было на 8 динариев больше, то он мог бы дать каждому по 3 динария».

Это означает, что если к имеющейся сумме $y$ прибавить 8, то полученную сумму можно будет разделить на $x$ бедных, и каждый получит ровно по 3 динария. Математически это можно записать так:

$y + 8 = 3x$

Второе условие: «...но он раздаёт лишь по 2 динария и у него остаётся 3 динария».

Это значит, что имеющаяся сумма $y$ равна сумме, которую он раздал (по 2 динария каждому из $x$ бедных), плюс остаток в 3 динария. Математически это выглядит так:

$y = 2x + 3$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} y + 8 = 3x \\ y = 2x + 3 \end{cases}$

Для решения этой системы удобно использовать метод подстановки. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$(2x + 3) + 8 = 3x$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:

$2x + 11 = 3x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$11 = 3x - 2x$

$x = 11$

Таким образом, мы нашли, что количество бедных было 11 человек.

Для уверенности в правильности решения проведем проверку. Найдем исходное количество динариев $y$ из второго уравнения:

$y = 2 \cdot 11 + 3 = 22 + 3 = 25$ динариев.

Проверим оба условия из задачи с найденными значениями ($x=11$, $y=25$):

1. Если бы у него было на 8 динариев больше, то у него было бы $25 + 8 = 33$ динария. Разделив эту сумму на 11 бедных, получаем $33 / 11 = 3$ динария на каждого. Первое условие выполняется.

2. Он раздает по 2 динария 11-ти бедным: $2 \cdot 11 = 22$ динария. У него остается $25 - 22 = 3$ динария. Второе условие также выполняется.

Ответ: было 11 бедных.