Номер 5, страница 253 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

5. (Из «Всеобщей арифметики» Ньютона.) Некто желает распределить между бедными деньги. Если бы у него было на 8 динариев больше, то он мог бы дать каждому по 3 динария, но он раздаёт лишь по 2 динария и у него остаётся 3 динария. Сколько было бедных?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество бедных, а $y$ — это количество динариев, которое было у человека изначально.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.

Первое условие: «Если бы у него было на 8 динариев больше, то он мог бы дать каждому по 3 динария».

Это означает, что если к имеющейся сумме $y$ прибавить 8, то полученную сумму можно будет разделить на $x$ бедных, и каждый получит ровно по 3 динария. Математически это можно записать так:

$y + 8 = 3x$

Второе условие: «...но он раздаёт лишь по 2 динария и у него остаётся 3 динария».

Это значит, что имеющаяся сумма $y$ равна сумме, которую он раздал (по 2 динария каждому из $x$ бедных), плюс остаток в 3 динария. Математически это выглядит так:

$y = 2x + 3$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} y + 8 = 3x \\ y = 2x + 3 \end{cases}$

Для решения этой системы удобно использовать метод подстановки. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$(2x + 3) + 8 = 3x$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:

$2x + 11 = 3x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$11 = 3x - 2x$

$x = 11$

Таким образом, мы нашли, что количество бедных было 11 человек.

Для уверенности в правильности решения проведем проверку. Найдем исходное количество динариев $y$ из второго уравнения:

$y = 2 \cdot 11 + 3 = 22 + 3 = 25$ динариев.

Проверим оба условия из задачи с найденными значениями ($x=11$, $y=25$):

1. Если бы у него было на 8 динариев больше, то у него было бы $25 + 8 = 33$ динария. Разделив эту сумму на 11 бедных, получаем $33 / 11 = 3$ динария на каждого. Первое условие выполняется.

2. Он раздает по 2 динария 11-ти бедным: $2 \cdot 11 = 22$ динария. У него остается $25 - 22 = 3$ динария. Второе условие также выполняется.

Ответ: было 11 бедных.