Номер 1, страница 253 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. (Из VII книги древнекитайского трактата «Математика в девяти книгах».) Имеется 9 слитков золота и 11 слитков серебра, их взвесили, вес совпал. Переложили слиток золота и слиток серебра, золото стало легче на 13 ланов. Каков вес слитка золота и слитка серебра, каждого в отдельности?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть вес одного слитка золота равен $x$ ланов, а вес одного слитка серебра — $y$ ланов.

Согласно первому условию, вес 9 слитков золота равен весу 11 слитков серебра. На основе этого мы можем составить первое уравнение:

$9x = 11y$

Далее, с каждой стороны весов поменяли по одному слитку. На чаше, где изначально было золото, теперь лежат 8 слитков золота и 1 слиток серебра. Их общий вес составляет $8x + y$. На другой чаше, где было серебро, теперь лежат 10 слитков серебра и 1 слиток золота. Их общий вес составляет $10y + x$.

По второму условию, чаша с золотом стала легче на 13 ланов. Это означает, что вес на второй чаше (бывшей "серебряной") на 13 ланов больше, чем вес на первой (бывшей "золотой"). Составим второе уравнение:

$(10y + x) - (8x + y) = 13$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} 9x = 11y \\ (10y + x) - (8x + y) = 13 \end{cases}$

Упростим второе уравнение:

$10y + x - 8x - y = 13$

$9y - 7x = 13$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} 9x = 11y \\ 9y - 7x = 13 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = \frac{11}{9}y$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

$9y - 7\left(\frac{11}{9}y\right) = 13$

$9y - \frac{77}{9}y = 13$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 9:

$9 \cdot 9y - 9 \cdot \frac{77}{9}y = 13 \cdot 9$

$81y - 77y = 117$

$4y = 117$

$y = \frac{117}{4} = 29.25$

Таким образом, вес одного слитка серебра составляет 29,25 лана.

Теперь найдем вес слитка золота, подставив найденное значение $y$ в выражение для $x$:

$x = \frac{11}{9}y = \frac{11}{9} \times 29.25 = \frac{11}{9} \times \frac{117}{4}$

Поскольку $117 = 9 \times 13$, мы можем сократить дробь:

$x = \frac{11 \times 13}{4} = \frac{143}{4} = 35.75$

Следовательно, вес одного слитка золота составляет 35,75 лана.

Ответ: вес слитка золота — 35,75 лана, вес слитка серебра — 29,25 лана.