Номер 750, страница 252 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

750. Турист выехал из города $A$ и должен приехать в город $B$ в назначенный срок. Если он будет ехать со скоростью 35 км/ч, то опоздает на 2 ч; если же он будет ехать со скоростью 50 км/ч, то приедет на час раньше срока. Определить расстояние между городами $A$ и $B$ и время, затраченное туристом на путь из города $A$ в город $B$, если он прибыл в назначенный срок.

Определить расстояние между городами А и В

Пусть $S$ — искомое расстояние между городами А и В (в км), а $t$ — назначенное (плановое) время в пути (в часах).

Основная формула, связывающая расстояние, скорость и время: $Время = Расстояние / Скорость$.

Рассмотрим первую ситуацию: турист едет со скоростью $v_1 = 35$ км/ч и опаздывает на 2 часа. Это означает, что его фактическое время в пути составило $t + 2$ часа. Составим первое уравнение:
$t + 2 = \frac{S}{35}$

Рассмотрим вторую ситуацию: турист едет со скоростью $v_2 = 50$ км/ч и приезжает на 1 час раньше срока. Это означает, что его фактическое время в пути составило $t - 1$ час. Составим второе уравнение:
$t - 1 = \frac{S}{50}$

В результате мы имеем систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $S$ и $t$:
$ \begin{cases} t + 2 = S/35 \\ t - 1 = S/50 \end{cases} $

Выразим $t$ из обоих уравнений, чтобы исключить эту переменную:
Из первого уравнения: $t = \frac{S}{35} - 2$
Из второго уравнения: $t = \frac{S}{50} + 1$

Теперь приравняем правые части этих выражений:
$\frac{S}{35} - 2 = \frac{S}{50} + 1$

Сгруппируем члены, содержащие $S$, в левой части уравнения, а числовые значения — в правой:
$\frac{S}{35} - \frac{S}{50} = 1 + 2$
$\frac{S}{35} - \frac{S}{50} = 3$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 35 и 50 равно 350.
$\frac{10 \cdot S}{350} - \frac{7 \cdot S}{350} = 3$
$\frac{10S - 7S}{350} = 3$
$\frac{3S}{350} = 3$

Умножим обе части на 350 и разделим на 3, чтобы найти $S$:
$3S = 3 \cdot 350$
$S = 350$ км.

Ответ: расстояние между городами А и В составляет 350 км.

Определить время, затраченное туристом на путь из города А в город В, если он прибыл в назначенный срок

Теперь, когда мы знаем расстояние $S = 350$ км, мы можем найти назначенное время $t$. Для этого подставим значение $S$ в любое из уравнений для $t$, которые мы получили ранее.

Используем выражение $t = \frac{S}{50} + 1$:
$t = \frac{350}{50} + 1$
$t = 7 + 1$
$t = 8$ часов.

Для проверки можно подставить $S$ и в другое выражение $t = \frac{S}{35} - 2$:
$t = \frac{350}{35} - 2$
$t = 10 - 2$
$t = 8$ часов.

Результаты совпадают, следовательно, назначенное время в пути — 8 часов.

Ответ: время, затраченное туристом на путь, чтобы прибыть в назначенный срок, составляет 8 часов.