Номер 753, страница 252 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе VII. Глава 7. Системы двух уравнений с двумя неизвестными - номер 753, страница 252.

Условие.

753. Сад имеет форму прямоугольника. Если увеличить длину сада на 8 м, а ширину на 6 м, то площадь сада увеличится на 632 $м^2$. Если же длину сада уменьшить на 6 м, а ширину увеличить на 8 м, то площадь сада увеличится на 164 $м^2$. Определить длину и ширину сада.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Пусть $l$ — первоначальная длина сада в метрах, а $w$ — первоначальная ширина сада в метрах. Тогда первоначальная площадь сада равна $S = l \cdot w$.

Согласно первому условию, если увеличить длину на 8 м, а ширину на 6 м, то площадь увеличится на 632 м². Новая длина будет $(l+8)$ м, а новая ширина — $(w+6)$ м. Новая площадь составит $S_{1} = (l+8)(w+6)$. Изменение площади равно $S_{1} - S = 632$. Запишем уравнение:

$(l+8)(w+6) - l \cdot w = 632$

Раскроем скобки: $lw + 6l + 8w + 48 - lw = 632$.

Упростим выражение: $6l + 8w = 632 - 48$, что дает $6l + 8w = 584$.

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его: $3l + 4w = 292$. Это наше первое уравнение.

Согласно второму условию, если уменьшить длину на 6 м, а ширину увеличить на 8 м, то площадь увеличится на 164 м². Новая длина будет $(l-6)$ м, а новая ширина — $(w+8)$ м. Новая площадь составит $S_{2} = (l-6)(w+8)$. Изменение площади равно $S_{2} - S = 164$. Запишем второе уравнение:

$(l-6)(w+8) - l \cdot w = 164$

Раскроем скобки: $lw + 8l - 6w - 48 - lw = 164$.

Упростим выражение: $8l - 6w = 164 + 48$, что дает $8l - 6w = 212$.

Разделим обе части уравнения на 2: $4l - 3w = 106$. Это наше второе уравнение.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} 3l + 4w = 292 \\ 4l - 3w = 106 \end{cases}$

Решим эту систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 4, чтобы коэффициенты при $w$ стали противоположными по знаку:

$3 \cdot (3l + 4w) = 3 \cdot 292 \implies 9l + 12w = 876$

$4 \cdot (4l - 3w) = 4 \cdot 106 \implies 16l - 12w = 424$

Сложим полученные уравнения: $(9l + 12w) + (16l - 12w) = 876 + 424$.

$25l = 1300$

$l = \frac{1300}{25} = 52$.

Итак, длина сада $l = 52$ м.

Подставим найденное значение $l$ в первое уравнение $3l + 4w = 292$:

$3 \cdot 52 + 4w = 292$

$156 + 4w = 292$

$4w = 292 - 156$

$4w = 136$

$w = \frac{136}{4} = 34$.

Итак, ширина сада $w = 34$ м.

Ответ: длина сада — 52 м, ширина сада — 34 м.