Номер 4, страница 253 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

4. (Из трактата «Математика в девяти книгах».) Имеется 5 воробьёв и 6 ласточек, их взвесили на весах. Вес всех воробьёв больше веса всех ласточек. Если переместить 1 ласточку и 1 воробья, то вес как раз будет одинаковым. Общий вес ласточек и воробьёв 1 цзинь. Спрашивается, сколько весят ласточка и воробей в отдельности.

Для решения этой старинной задачи введем переменные. Пусть $x$ — это вес одного воробья, а $y$ — вес одной ласточки. Единицей измерения будет цзинь.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.

Первое условие гласит, что если поменять местами одного воробья и одну ласточку, то весы придут в равновесие. Изначально на одной чаше весов 5 воробьёв (общий вес $5x$), а на другой 6 ласточек (общий вес $6y$). Причем вес воробьёв больше ($5x > 6y$).

После обмена на первой чаше окажется 4 воробья и 1 ласточка, а на второй — 5 ласточек и 1 воробей. Их веса станут равны:

$4x + y = 5y + x$

Второе условие — это общий вес всех птиц, который составляет 1 цзинь:

$5x + 6y = 1$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases}4x + y = 5y + x \\5x + 6y = 1\end{cases}$

Сначала упростим первое уравнение, перенеся переменные на разные стороны:

$4x - x = 5y - y$

$3x = 4y$

Из этого соотношения можно выразить $x$ через $y$ (или наоборот):

$x = \frac{4}{3}y$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$5\left(\frac{4}{3}y\right) + 6y = 1$

$\frac{20}{3}y + 6y = 1$

Чтобы сложить дроби, приведем $6y$ к знаменателю 3:

$\frac{20}{3}y + \frac{18}{3}y = 1$

$\frac{38}{3}y = 1$

Теперь мы можем найти вес одной ласточки ($y$):

$y = 1 \div \frac{38}{3} = 1 \cdot \frac{3}{38} = \frac{3}{38}$

Зная вес ласточки, найдем вес воробья ($x$), используя соотношение $x = \frac{4}{3}y$:

$x = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{38} = \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 38} = \frac{4}{38} = \frac{2}{19}$

Проверим первоначальное условие, что 5 воробьёв весят больше 6 ласточек:

$5x > 6y$

$5 \cdot \frac{2}{19} > 6 \cdot \frac{3}{38}$

$\frac{10}{19} > \frac{18}{38}$

$\frac{10}{19} > \frac{9}{19}$

Неравенство верно, значит, решение найдено правильно.

Вес ласточки

Как показано в решении, вес одной ласточки составляет $\frac{3}{38}$ цзиня.

Ответ: ласточка весит $\frac{3}{38}$ цзиня.

Вес воробья

Как показано в решении, вес одного воробья составляет $\frac{2}{19}$ цзиня.

Ответ: воробей весит $\frac{2}{19}$ цзиня.