Номер 5, страница 254 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Системы двух уравнений с двумя неизвестными. Практические и прикладные задачи - номер 5, страница 254.

Условие.

5. В сплаве $A$ массы золота и серебра относились как $1:2$, а в сплаве $B$ — как $2:3$. Когда их сплавили вместе, получили новый сплав с отношением масс золота и серебра $7:12$. Чему было равно отношение масс сплавов $A$ и $B$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Обозначим массу сплава А как $m_A$, а массу сплава В как $m_B$.

В сплаве А отношение масс золота и серебра равно 1:2. Это означает, что золото составляет $\frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$ массы сплава А, а серебро — $\frac{2}{1+2} = \frac{2}{3}$ массы сплава А.Таким образом, масса золота в сплаве А равна $\frac{1}{3}m_A$, а масса серебра — $\frac{2}{3}m_A$.

В сплаве В отношение масс золота и серебра равно 2:3. Это означает, что золото составляет $\frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$ массы сплава В, а серебро — $\frac{3}{2+3} = \frac{3}{5}$ массы сплава В.Таким образом, масса золота в сплаве В равна $\frac{2}{5}m_B$, а масса серебра — $\frac{3}{5}m_B$.

Когда сплавы А и В сплавили вместе, общая масса золота в новом сплаве стала равна сумме масс золота из сплавов А и В:$m_{золота} = \frac{1}{3}m_A + \frac{2}{5}m_B$.

Общая масса серебра в новом сплаве стала равна сумме масс серебра из сплавов А и В:$m_{серебра} = \frac{2}{3}m_A + \frac{3}{5}m_B$.

В новом сплаве отношение масс золота и серебра равно 7:12, следовательно, мы можем составить уравнение:$\frac{m_{золота}}{m_{серебра}} = \frac{\frac{1}{3}m_A + \frac{2}{5}m_B}{\frac{2}{3}m_A + \frac{3}{5}m_B} = \frac{7}{12}$.

Решим это уравнение, чтобы найти отношение $\frac{m_A}{m_B}$. Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):
$12 \cdot (\frac{1}{3}m_A + \frac{2}{5}m_B) = 7 \cdot (\frac{2}{3}m_A + \frac{3}{5}m_B)$
Раскроем скобки:
$\frac{12}{3}m_A + \frac{24}{5}m_B = \frac{14}{3}m_A + \frac{21}{5}m_B$
$4m_A + \frac{24}{5}m_B = \frac{14}{3}m_A + \frac{21}{5}m_B$
Сгруппируем слагаемые с $m_A$ в одной части уравнения, а с $m_B$ — в другой:
$\frac{24}{5}m_B - \frac{21}{5}m_B = \frac{14}{3}m_A - 4m_A$
Выполним вычитание:
$\frac{3}{5}m_B = (\frac{14}{3} - \frac{12}{3})m_A$
$\frac{3}{5}m_B = \frac{2}{3}m_A$
Теперь выразим искомое отношение масс $\frac{m_A}{m_B}$:
$\frac{m_A}{m_B} = \frac{3}{5} \div \frac{2}{3} = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{10}$.
Таким образом, отношение масс сплавов А и В равно 9:10.

Ответ: 9:10.