Номер 5, страница 255 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 7. Системы двух уравнений с двумя неизвестными - номер 5, страница 255.

Условие.

5. Решить систему уравнений

$\begin{cases} \frac{2x+4}{10} = 1 - \frac{9(y-3)}{20}, \\ \frac{3y-4}{4} = \frac{9-x}{3} - \frac{3}{4}. \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Для решения данной системы уравнений необходимо упростить каждое уравнение, приведя его к линейному виду $Ax + By = C$.

Сначала преобразуем первое уравнение системы: $ \frac{2x + 4}{10} = 1 - \frac{9(y - 3)}{20} $.

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 10 и 20, которое равно 20:

$20 \cdot \frac{2x + 4}{10} = 20 \cdot \left(1 - \frac{9(y - 3)}{20}\right)$

$2(2x + 4) = 20 - 9(y - 3)$

Теперь раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$4x + 8 = 20 - 9y + 27$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$4x + 8 = 47 - 9y$

Перенесем слагаемые с переменными в левую часть, а постоянные — в правую:

$4x + 9y = 47 - 8$

$4x + 9y = 39$

Теперь преобразуем второе уравнение системы: $ \frac{3y - 4}{4} = \frac{9 - x}{3} - \frac{3}{4} $.

Умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 3, которое равно 12:

$12 \cdot \frac{3y - 4}{4} = 12 \cdot \left(\frac{9 - x}{3} - \frac{3}{4}\right)$

$3(3y - 4) = 4(9 - x) - 3 \cdot 3$

Раскроем скобки и упростим правую часть:

$9y - 12 = 36 - 4x - 9$

$9y - 12 = 27 - 4x$

Перенесем слагаемые с переменными в левую часть, а постоянные — в правую:

$4x + 9y = 27 + 12$

$4x + 9y = 39$

После упрощения исходная система уравнений принимает следующий вид:

$$ \begin{cases} 4x + 9y = 39 \\ 4x + 9y = 39 \end{cases} $$

Оба уравнения в системе оказались идентичными. Это означает, что система имеет бесконечное множество решений. Любая пара чисел $(x, y)$, удовлетворяющая одному уравнению, будет удовлетворять и второму.

Для того чтобы записать общее решение, выразим одну переменную через другую из уравнения $4x + 9y = 39$. Например, выразим $y$ через $x$:

$9y = 39 - 4x$

$y = \frac{39 - 4x}{9}$

Таким образом, решением системы является любая пара чисел вида $(x, \frac{39 - 4x}{9})$, где $x$ — любое действительное число.

Ответ: $(x; \frac{39 - 4x}{9})$, где $x$ — любое действительное число.