Номер 4, страница 255 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

4. При каких значениях a система уравнений:

$ \begin{cases} y = ax, \\ y = -3x + 2 \end{cases} $

1) не имеет решений;

2) имеет единственное решение?

Данная система уравнений представляет собой систему двух линейных уравнений. Количество решений системы соответствует количеству точек пересечения графиков этих уравнений.

График первого уравнения $y=ax$ — это прямая, проходящая через начало координат $(0, 0)$ с угловым коэффициентом $k_1 = a$.

График второго уравнения $y=-3x+2$ — это прямая с угловым коэффициентом $k_2 = -3$ и пересекающая ось ординат в точке $(0, 2)$.

1) не имеет решений;

Система не имеет решений в том случае, если графики уравнений являются параллельными и несовпадающими прямыми. Это условие выполняется, когда их угловые коэффициенты равны, а точки пересечения с осью OY различны.

Приравняем угловые коэффициенты, чтобы найти условие параллельности прямых:

$k_1 = k_2$

$a = -3$

При $a = -3$ система принимает вид:

$ \begin{cases} y = -3x \\ y = -3x + 2 \end{cases} $

Угловые коэффициенты обеих прямых равны $-3$, но первая прямая проходит через начало координат $(0, 0)$, а вторая пересекает ось OY в точке $(0, 2)$. Поскольку прямые имеют одинаковый наклон, но проходят через разные точки, они параллельны и никогда не пересекутся.

Следовательно, при $a=-3$ система не имеет решений.

Ответ: $a = -3$.

2) имеет единственное решение?

Система имеет единственное решение, если графики уравнений — пересекающиеся прямые. Это происходит тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты не равны.

Запишем условие неравенства угловых коэффициентов:

$k_1 \neq k_2$

$a \neq -3$

При любом значении $a$, кроме $-3$, прямые будут иметь разный наклон и, следовательно, будут пересекаться ровно в одной точке.

Этот же результат можно получить аналитически. Приравняем правые части уравнений системы, чтобы найти абсциссу точки пересечения:

$ax = -3x + 2$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть:

$ax + 3x = 2$

Вынесем $x$ за скобки:

$(a+3)x = 2$

Это линейное уравнение относительно $x$ имеет единственное решение тогда и только тогда, когда коэффициент при $x$ не равен нулю, то есть:

$a+3 \neq 0$

$a \neq -3$

Если это условие выполняется, мы можем найти единственное значение $x = \frac{2}{a+3}$, а затем и соответствующее ему единственное значение $y$. Таким образом, система будет иметь единственное решение.

Ответ: $a \neq -3$.