Страница 255 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Проверить, является ли пара чисел $x=2$ и $y=1$ решением системы уравнений:

$\begin{cases} 2x - 3y = 1, \\ 5x + y = 11. \end{cases}$

Для того чтобы проверить, является ли пара чисел $x=2$ и $y=1$ решением системы уравнений, необходимо подставить эти значения в каждое из уравнений системы. Если в результате подстановки оба уравнения превратятся в верные числовые равенства, то данная пара чисел является решением системы.

Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} 2x - 3y = 1, \\ 5x + y = 11. \end{cases} $$

Проверка первого уравнения

Подставим значения $x=2$ и $y=1$ в первое уравнение $2x - 3y = 1$:
$2 \cdot 2 - 3 \cdot 1 = 1$
$4 - 3 = 1$
$1 = 1$
Получено верное числовое равенство. Следовательно, пара чисел $(2; 1)$ удовлетворяет первому уравнению системы.

Проверка второго уравнения

Подставим те же значения $x=2$ и $y=1$ во второе уравнение $5x + y = 11$:
$5 \cdot 2 + 1 = 11$
$10 + 1 = 11$
$11 = 11$
Получено верное числовое равенство. Следовательно, пара чисел $(2; 1)$ удовлетворяет и второму уравнению системы.

Так как пара чисел $x=2$ и $y=1$ удовлетворяет обоим уравнениям, она является решением данной системы уравнений.

Ответ: да, является.

2. Решить систему уравнений:

a) $ \begin{cases} x + y = 2, \\ 3x + 4y = 5; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 3x + 4y = -1, \\ 2x - 5y = 7. \end{cases} $

а) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 2 \\ 3x + 4y = 5 \end{cases} $

Решим данную систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим переменную x:

$x = 2 - y$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы и решим его относительно y:

$3(2 - y) + 4y = 5$

$6 - 3y + 4y = 5$

$y = 5 - 6$

$y = -1$

Теперь найдем соответствующее значение x, подставив $y = -1$ в выражение для x:

$x = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3$

Решением системы является пара чисел $(3; -1)$.

Ответ: $(3; -1)$

б) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x + 4y = -1 \\ 2x - 5y = 7 \end{cases} $

Решим эту систему методом алгебраического сложения. Для этого умножим обе части первого уравнения на 2, а обе части второго уравнения на -3, чтобы коэффициенты при x стали противоположными числами.

$ \begin{cases} (3x + 4y) \cdot 2 = -1 \cdot 2 \\ (2x - 5y) \cdot (-3) = 7 \cdot (-3) \end{cases} $

Получим равносильную систему:

$ \begin{cases} 6x + 8y = -2 \\ -6x + 15y = -21 \end{cases} $

Теперь сложим почленно левые и правые части уравнений системы:

$(6x + 8y) + (-6x + 15y) = -2 + (-21)$

$23y = -23$

$y = -1$

Подставим найденное значение $y = -1$ в первое исходное уравнение, чтобы найти x:

$3x + 4(-1) = -1$

$3x - 4 = -1$

$3x = 3$

$x = 1$

Решением системы является пара чисел $(1; -1)$.

Ответ: $(1; -1)$

3. Яблоки и груши упакованы в одинаковые ящики. Масса яблок в пяти ящиках и груш в трёх ящиках вместе составляют 70 кг. Масса груш в одном ящике и яблок в двух ящиках вместе составляет 26 кг. Сколько килограммов яблок и сколько килограммов груш содержится в одном ящике?

Для решения задачи введем переменные. Пусть x — масса яблок в одном ящике в килограммах, а y — масса груш в одном ящике в килограммах. Основываясь на условиях задачи, составим систему из двух линейных уравнений.

Первое условие: масса яблок в пяти ящиках ($5x$) и груш в трёх ящиках ($3y$) вместе составляет 70 кг. Это дает нам первое уравнение:

$5x + 3y = 70$

Второе условие: масса груш в одном ящике ($y$) и яблок в двух ящиках ($2x$) вместе составляет 26 кг. Отсюда получаем второе уравнение:

$2x + y = 26$

Теперь у нас есть система уравнений, которую нужно решить:

$ \begin{cases} 5x + 3y = 70 \\ 2x + y = 26 \end{cases} $

Наиболее удобным методом решения здесь является метод подстановки. Выразим переменную y из второго уравнения:

$y = 26 - 2x$

Теперь подставим полученное выражение для y в первое уравнение системы:

$5x + 3(26 - 2x) = 70$

Раскроем скобки и решим получившееся уравнение относительно x:

$5x + 78 - 6x = 70$

$78 - x = 70$

$x = 78 - 70$

$x = 8$

Таким образом, мы нашли, что масса яблок в одном ящике составляет 8 кг.

Далее найдем массу груш в одном ящике, подставив значение $x = 8$ в выражение для y:

$y = 26 - 2x = 26 - 2 \cdot 8$

$y = 26 - 16$

$y = 10$

Следовательно, масса груш в одном ящике составляет 10 кг.

Выполним проверку, подставив найденные значения в оба исходных условия:

1) $5 \cdot 8 + 3 \cdot 10 = 40 + 30 = 70$ кг. (Верно)

2) $2 \cdot 8 + 10 = 16 + 10 = 26$ кг. (Верно)

Оба условия выполняются, значит, задача решена правильно.

Ответ: в одном ящике содержится 8 кг яблок и 10 кг груш.

4. При каких значениях a система уравнений:

$ \begin{cases} y = ax, \\ y = -3x + 2 \end{cases} $

1) не имеет решений;

2) имеет единственное решение?

Данная система уравнений представляет собой систему двух линейных уравнений. Количество решений системы соответствует количеству точек пересечения графиков этих уравнений.

График первого уравнения $y=ax$ — это прямая, проходящая через начало координат $(0, 0)$ с угловым коэффициентом $k_1 = a$.

График второго уравнения $y=-3x+2$ — это прямая с угловым коэффициентом $k_2 = -3$ и пересекающая ось ординат в точке $(0, 2)$.

1) не имеет решений;

Система не имеет решений в том случае, если графики уравнений являются параллельными и несовпадающими прямыми. Это условие выполняется, когда их угловые коэффициенты равны, а точки пересечения с осью OY различны.

Приравняем угловые коэффициенты, чтобы найти условие параллельности прямых:

$k_1 = k_2$

$a = -3$

При $a = -3$ система принимает вид:

$ \begin{cases} y = -3x \\ y = -3x + 2 \end{cases} $

Угловые коэффициенты обеих прямых равны $-3$, но первая прямая проходит через начало координат $(0, 0)$, а вторая пересекает ось OY в точке $(0, 2)$. Поскольку прямые имеют одинаковый наклон, но проходят через разные точки, они параллельны и никогда не пересекутся.

Следовательно, при $a=-3$ система не имеет решений.

Ответ: $a = -3$.

2) имеет единственное решение?

Система имеет единственное решение, если графики уравнений — пересекающиеся прямые. Это происходит тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты не равны.

Запишем условие неравенства угловых коэффициентов:

$k_1 \neq k_2$

$a \neq -3$

При любом значении $a$, кроме $-3$, прямые будут иметь разный наклон и, следовательно, будут пересекаться ровно в одной точке.

Этот же результат можно получить аналитически. Приравняем правые части уравнений системы, чтобы найти абсциссу точки пересечения:

$ax = -3x + 2$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть:

$ax + 3x = 2$

Вынесем $x$ за скобки:

$(a+3)x = 2$

Это линейное уравнение относительно $x$ имеет единственное решение тогда и только тогда, когда коэффициент при $x$ не равен нулю, то есть:

$a+3 \neq 0$

$a \neq -3$

Если это условие выполняется, мы можем найти единственное значение $x = \frac{2}{a+3}$, а затем и соответствующее ему единственное значение $y$. Таким образом, система будет иметь единственное решение.

Ответ: $a \neq -3$.

5. Решить систему уравнений

$\begin{cases} \frac{2x+4}{10} = 1 - \frac{9(y-3)}{20}, \\ \frac{3y-4}{4} = \frac{9-x}{3} - \frac{3}{4}. \end{cases}$

Для решения данной системы уравнений необходимо упростить каждое уравнение, приведя его к линейному виду $Ax + By = C$.

Сначала преобразуем первое уравнение системы: $ \frac{2x + 4}{10} = 1 - \frac{9(y - 3)}{20} $.

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 10 и 20, которое равно 20:

$20 \cdot \frac{2x + 4}{10} = 20 \cdot \left(1 - \frac{9(y - 3)}{20}\right)$

$2(2x + 4) = 20 - 9(y - 3)$

Теперь раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$4x + 8 = 20 - 9y + 27$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$4x + 8 = 47 - 9y$

Перенесем слагаемые с переменными в левую часть, а постоянные — в правую:

$4x + 9y = 47 - 8$

$4x + 9y = 39$

Теперь преобразуем второе уравнение системы: $ \frac{3y - 4}{4} = \frac{9 - x}{3} - \frac{3}{4} $.

Умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 3, которое равно 12:

$12 \cdot \frac{3y - 4}{4} = 12 \cdot \left(\frac{9 - x}{3} - \frac{3}{4}\right)$

$3(3y - 4) = 4(9 - x) - 3 \cdot 3$

Раскроем скобки и упростим правую часть:

$9y - 12 = 36 - 4x - 9$

$9y - 12 = 27 - 4x$

Перенесем слагаемые с переменными в левую часть, а постоянные — в правую:

$4x + 9y = 27 + 12$

$4x + 9y = 39$

После упрощения исходная система уравнений принимает следующий вид:

Оба уравнения в системе оказались идентичными. Это означает, что система имеет бесконечное множество решений. Любая пара чисел $(x, y)$, удовлетворяющая одному уравнению, будет удовлетворять и второму.

Для того чтобы записать общее решение, выразим одну переменную через другую из уравнения $4x + 9y = 39$. Например, выразим $y$ через $x$:

$9y = 39 - 4x$

$y = \frac{39 - 4x}{9}$

Таким образом, решением системы является любая пара чисел вида $(x, \frac{39 - 4x}{9})$, где $x$ — любое действительное число.

Ответ: $(x; \frac{39 - 4x}{9})$, где $x$ — любое действительное число.

6. Сумма цифр двузначного числа равна 10. Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, на 36 больше данного числа. Найти это число.

Пусть искомое двузначное число состоит из $x$ десятков и $y$ единиц. Тогда значение этого числа можно записать как $10x + y$. Поскольку это двузначное число, $x$ является целым числом от 1 до 9, а $y$ — целым числом от 0 до 9.

Согласно первому условию задачи, сумма цифр числа равна 10. Это можно записать в виде уравнения:

$x + y = 10$

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет иметь $y$ десятков и $x$ единиц. Его значение равно $10y + x$.

Согласно второму условию, это новое число на 36 больше исходного. Составим второе уравнение:

$(10y + x) = (10x + y) + 36$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases}x + y = 10 \\10y + x = 10x + y + 36\end{cases}$

Упростим второе уравнение, перенеся все переменные в левую часть:

$10y - y + x - 10x = 36$
$9y - 9x = 36$

Разделим обе части упрощенного второго уравнения на 9:

$y - x = 4$

Теперь наша система уравнений выглядит проще:

$\begin{cases}x + y = 10 \\y - x = 4\end{cases}$

Можно решить эту систему методом сложения. Сложим первое и второе уравнения:

$(x + y) + (y - x) = 10 + 4$
$2y = 14$
$y = 7$

Теперь, зная $y$, найдем $x$ из первого уравнения $x + y = 10$:

$x + 7 = 10$
$x = 10 - 7$
$x = 3$

Итак, мы нашли цифры числа: первая цифра (десятки) $x = 3$, вторая цифра (единицы) $y = 7$.

Следовательно, искомое число равно 37.

Выполним проверку:
1. Сумма цифр: $3 + 7 = 10$. Условие выполняется.
2. Число, записанное в обратном порядке, — 73. Разница между новым и исходным числом: $73 - 37 = 36$. Условие выполняется.

Ответ: 37