Страница 261 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

791. Если к числителю некоторой дроби прибавить 3, а знаменатель оставить без изменения, то получится 1; если к знаменателю исходной дроби прибавить 2, не меняя её числитель, то получится дробь, равная $\frac{1}{2}$. Найти исходную дробь.

Пусть числитель исходной дроби равен $x$, а знаменатель — $y$. Тогда искомая дробь имеет вид $\frac{x}{y}$.

Из условия задачи известно, что если к числителю прибавить 3, а знаменатель оставить без изменения, то получится 1. Составим первое уравнение:

$\frac{x + 3}{y} = 1$

Также известно, что если к знаменателю исходной дроби прибавить 2, не меняя числитель, то получится дробь, равная $\frac{1}{2}$. Составим второе уравнение:

$\frac{x}{y + 2} = \frac{1}{2}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} \frac{x + 3}{y} = 1 \\ \frac{x}{y + 2} = \frac{1}{2} \end{cases} $

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $x$ через $y$. Для этого умножим обе части уравнения на $y$ (при условии, что $y \neq 0$, что является обязательным для знаменателя дроби):

$x + 3 = y$

$x = y - 3$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$\frac{y - 3}{y + 2} = \frac{1}{2}$

Решим полученное уравнение относительно $y$, используя свойство пропорции (перекрестное умножение):

$2 \cdot (y - 3) = 1 \cdot (y + 2)$

$2y - 6 = y + 2$

Перенесем члены с $y$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$2y - y = 2 + 6$

$y = 8$

Мы нашли знаменатель исходной дроби. Теперь найдем числитель, подставив значение $y$ в ранее полученное выражение $x = y - 3$:

$x = 8 - 3 = 5$

Следовательно, исходная дробь равна $\frac{5}{8}$.

Выполним проверку:

1. Если к числителю прибавить 3: $\frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1$. Верно.

2. Если к знаменателю прибавить 2: $\frac{5}{8 + 2} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. Верно.

Ответ: $\frac{5}{8}$.

792. Теплоход прошёл по реке расстояние между двумя пристанями, равное 80 км, за 3 ч 20 мин по течению реки и за 5 ч против течения реки. Найти скорость течения реки и собственную скорость теплохода.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_{с}$ – собственная скорость теплохода (в км/ч), а $v_{т}$ – скорость течения реки (в км/ч). Расстояние между пристанями $S = 80$ км.

1. Найдем скорость теплохода по течению и против течения.
Время движения по течению составляет $t_{по} = 3$ ч $20$ мин. Переведем это значение полностью в часы, зная, что в одном часе 60 минут:
$t_{по} = 3 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 3 + \frac{20}{60} \text{ ч} = 3 + \frac{1}{3} \text{ ч} = \frac{10}{3} \text{ ч}$.
Время движения против течения составляет $t_{пр} = 5$ ч.

Скорость движения по течению ($v_{по}$) найдем по формуле $v = \frac{S}{t}$:
$v_{по} = \frac{80}{\frac{10}{3}} = 80 \cdot \frac{3}{10} = 24$ км/ч.

Скорость движения против течения ($v_{пр}$):
$v_{пр} = \frac{80}{5} = 16$ км/ч.

2. Найдем скорость течения реки и собственную скорость теплохода.
Скорость по течению — это сумма собственной скорости теплохода и скорости течения ($v_{по} = v_{с} + v_{т}$).
Скорость против течения — это разность собственной скорости теплохода и скорости течения ($v_{пр} = v_{с} - v_{т}$).
Составим систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными: $$ \begin{cases} v_{с} + v_{т} = 24 \\ v_{с} - v_{т} = 16 \end{cases} $$

Сложим первое и второе уравнения, чтобы найти собственную скорость теплохода $v_{с}$:
$(v_{с} + v_{т}) + (v_{с} - v_{т}) = 24 + 16$
$2v_{с} = 40$
$v_{с} = \frac{40}{2} = 20$ км/ч.

Теперь, чтобы найти скорость течения $v_{т}$, подставим найденное значение $v_{с}$ в первое уравнение системы:
$20 + v_{т} = 24$
$v_{т} = 24 - 20 = 4$ км/ч.

Ответ: скорость течения реки – 4 км/ч, собственная скорость теплохода – 20 км/ч.

793. Решить уравнение:

1) $\frac{4x-3}{2} - \frac{5-2x}{3} - \frac{3x-7}{6} = 0;$

2) $\frac{2x-3}{2} - \frac{3-4x}{4} - \frac{3-5x}{8} = 0;$

3) $\frac{x+4}{5} - \frac{x+3}{3} = x - 5 - \frac{x-2}{2};$

4) $\frac{5x}{6} - \frac{1-3x}{5} = x - \frac{x-7}{15} - 1.$

1)

Исходное уравнение: $ \frac{4x - 3}{2} - \frac{5 - 2x}{3} - \frac{3x - 7}{6} = 0 $

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 2, 3 и 6, которое равно 6.

$ 6 \cdot \frac{4x - 3}{2} - 6 \cdot \frac{5 - 2x}{3} - 6 \cdot \frac{3x - 7}{6} = 6 \cdot 0 $

После сокращения получаем:

$ 3(4x - 3) - 2(5 - 2x) - (3x - 7) = 0 $

Раскроем скобки, обращая внимание на знаки:

$ 12x - 9 - 10 + 4x - 3x + 7 = 0 $

Приведем подобные слагаемые:

$ (12x + 4x - 3x) + (-9 - 10 + 7) = 0 $

$ 13x - 12 = 0 $

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$ 13x = 12 $

Найдем $x$:

$ x = \frac{12}{13} $

Ответ: $ \frac{12}{13} $

2)

Исходное уравнение: $ \frac{2x - 3}{2} - \frac{3 - 4x}{4} - \frac{3 - 5x}{8} = 0 $

Наименьшее общее кратное знаменателей 2, 4 и 8 равно 8. Умножим обе части уравнения на 8:

$ 8 \cdot \frac{2x - 3}{2} - 8 \cdot \frac{3 - 4x}{4} - 8 \cdot \frac{3 - 5x}{8} = 8 \cdot 0 $

После сокращения получаем:

$ 4(2x - 3) - 2(3 - 4x) - (3 - 5x) = 0 $

Раскроем скобки:

$ 8x - 12 - 6 + 8x - 3 + 5x = 0 $

Сгруппируем подобные слагаемые:

$ (8x + 8x + 5x) + (-12 - 6 - 3) = 0 $

$ 21x - 21 = 0 $

Перенесем свободный член в правую часть:

$ 21x = 21 $

Найдем $x$:

$ x = \frac{21}{21} = 1 $

Ответ: 1

3)

Исходное уравнение: $ \frac{x + 4}{5} - \frac{x + 3}{3} = x - 5 - \frac{x - 2}{2} $

Наименьшее общее кратное знаменателей 5, 3 и 2 равно 30. Умножим обе части уравнения на 30:

$ 30 \cdot \frac{x + 4}{5} - 30 \cdot \frac{x + 3}{3} = 30(x - 5) - 30 \cdot \frac{x - 2}{2} $

После сокращения получаем:

$ 6(x + 4) - 10(x + 3) = 30x - 150 - 15(x - 2) $

Раскроем скобки:

$ 6x + 24 - 10x - 30 = 30x - 150 - 15x + 30 $

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$ -4x - 6 = 15x - 120 $

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$ 120 - 6 = 15x + 4x $

$ 114 = 19x $

Найдем $x$:

$ x = \frac{114}{19} = 6 $

Ответ: 6

4)

Исходное уравнение: $ \frac{5x}{6} - \frac{1 - 3x}{5} = x - \frac{x - 7}{15} - 1 $

Наименьшее общее кратное знаменателей 6, 5 и 15 равно 30. Умножим обе части уравнения на 30:

$ 30 \cdot \frac{5x}{6} - 30 \cdot \frac{1 - 3x}{5} = 30 \cdot x - 30 \cdot \frac{x - 7}{15} - 30 \cdot 1 $

После сокращения получаем:

$ 5(5x) - 6(1 - 3x) = 30x - 2(x - 7) - 30 $

Раскроем скобки:

$ 25x - 6 + 18x = 30x - 2x + 14 - 30 $

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$ 43x - 6 = 28x - 16 $

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$ 43x - 28x = -16 + 6 $

$ 15x = -10 $

Найдем $x$:

$ x = \frac{-10}{15} = -\frac{2}{3} $

Ответ: $ -\frac{2}{3} $

794. Заводской цех должен был выполнить план по изготовлению однотипных деталей за 10 дней. Но уже за день до срока он не только выполнил задание, но и изготовил сверх плана 3 детали, так как ежедневно изготовлял сверх плана по 2 детали. Сколько деталей должен был изготовить заводской цех по плану?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество деталей, которое цех должен был изготавливать ежедневно по плану.

По условию, план рассчитан на 10 дней. Следовательно, общее количество деталей, которое нужно было изготовить по плану, составляет:
$10 \cdot x$

Фактически цех ежедневно изготавливал на 2 детали больше плана, то есть дневная выработка составляла:
$x + 2$ деталей.

Цех выполнил работу за день до срока, то есть за $10 - 1 = 9$ дней.

За 9 дней цех изготовил:
$9 \cdot (x + 2)$ деталей.

Известно, что за это время было изготовлено на 3 детали больше, чем требовалось по плану. Это означает, что количество фактически изготовленных деталей равно плановому количеству плюс 3. Можем составить уравнение:
$9 \cdot (x + 2) = 10x + 3$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти плановую дневную норму $x$:
$9x + 18 = 10x + 3$
$18 - 3 = 10x - 9x$
$x = 15$

Итак, по плану цех должен был изготавливать 15 деталей в день.

Чтобы найти общее количество деталей по плану, умножим плановую дневную норму на количество дней:
$15 \text{ деталей/день} \cdot 10 \text{ дней} = 150 \text{ деталей}$

Ответ: 150 деталей.

795. Дана функция $y = kx + b$. При каких значениях $k$ и $b$ график функции проходит через точки $(-1; 1)$ и $(2; 3)$?

Для того чтобы найти значения $k$ и $b$, при которых график функции $y = kx + b$ проходит через точки $(-1; 1)$ и $(2; 3)$, необходимо составить и решить систему уравнений. Если график проходит через точку, то её координаты удовлетворяют уравнению функции.

1. Подставим координаты первой точки $(-1; 1)$ в уравнение $y = kx + b$:

$1 = k \cdot (-1) + b$

$1 = -k + b$

2. Подставим координаты второй точки $(2; 3)$ в уравнение $y = kx + b$:

$3 = k \cdot 2 + b$

$3 = 2k + b$

Теперь у нас есть система двух линейных уравнений с двумя неизвестными $k$ и $b$:

$\begin{cases} -k + b = 1 \\ 2k + b = 3 \end{cases}$

Для решения системы выразим $b$ из первого уравнения:

$b = 1 + k$

Подставим это выражение для $b$ во второе уравнение:

$2k + (1 + k) = 3$

$3k + 1 = 3$

$3k = 3 - 1$

$3k = 2$

$k = \frac{2}{3}$

Теперь, зная значение $k$, найдем $b$, подставив $k$ в выражение $b = 1 + k$:

$b = 1 + \frac{2}{3}$

$b = \frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

$b = \frac{5}{3}$

Таким образом, график функции проходит через заданные точки при $k = \frac{2}{3}$ и $b = \frac{5}{3}$.

Ответ: $k = \frac{2}{3}$, $b = \frac{5}{3}$.

796. Найти значение $k$, если известно, что график функции $y=kx-1$ проходит через точку $(-3; 2)$.

По условию задачи, график функции $y = kx - 1$ проходит через точку с координатами $(-3; 2)$.

Это означает, что координаты данной точки удовлетворяют уравнению функции. Чтобы найти неизвестный коэффициент $k$, мы можем подставить значения $x = -3$ и $y = 2$ в уравнение функции.

Выполним подстановку:
$2 = k \cdot (-3) - 1$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно переменной $k$:
$2 = -3k - 1$

Перенесем слагаемое $-1$ из правой части уравнения в левую, изменив его знак на противоположный:
$2 + 1 = -3k$
$3 = -3k$

Чтобы найти $k$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $k$, то есть на $-3$:
$k = \frac{3}{-3}$
$k = -1$

Таким образом, искомое значение коэффициента $k$ равно $-1$.

Ответ: $k = -1$.

797. Решить систему уравнений:

1) $$\begin{cases}\frac{9x - y}{7} + 2y = 3 \\\frac{12x + 5y}{3} - 3x = 3\end{cases}$$

2) $$\begin{cases}\frac{11x + 3y}{9} - 3x = -5 \\\frac{14x - 9y}{11} + 5y = 8\end{cases}$$

3) $$\begin{cases}\frac{x + 5y}{2} + \frac{11x - 2y}{8} = \frac{2x - 4y + 6}{5} \\\frac{2x - 3y}{7} - \frac{y - 2x}{5} = \frac{2(9x + 7y)}{11}\end{cases}$$

1)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{9x-y}{7} + 2y = 3, \\ \frac{12x+5y}{3} - 3x = 3; \end{cases} $

Упростим каждое уравнение, избавившись от знаменателей.

Первое уравнение умножим на 7:

$ (9x-y) + 7 \cdot 2y = 3 \cdot 7 $

$ 9x - y + 14y = 21 $

$ 9x + 13y = 21 $

Второе уравнение умножим на 3:

$ (12x+5y) - 3 \cdot 3x = 3 \cdot 3 $

$ 12x + 5y - 9x = 9 $

$ 3x + 5y = 9 $

Получаем упрощенную систему:

$ \begin{cases} 9x + 13y = 21, \\ 3x + 5y = 9. \end{cases} $

Решим систему методом подстановки или сложения. Удобно использовать метод сложения. Умножим второе уравнение на -3, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными:

$ -3 \cdot (3x + 5y) = -3 \cdot 9 $

$ -9x - 15y = -27 $

Теперь сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:

$ (9x + 13y) + (-9x - 15y) = 21 + (-27) $

$ -2y = -6 $

$ y = 3 $

Подставим значение $y=3$ во второе упрощенное уравнение $3x + 5y = 9$:

$ 3x + 5 \cdot 3 = 9 $

$ 3x + 15 = 9 $

$ 3x = 9 - 15 $

$ 3x = -6 $

$ x = -2 $

Ответ: $x = -2, y = 3$.

2)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{11x+3y}{9} - 3x = -5, \\ \frac{14x-9y}{11} + 5y = 8; \end{cases} $

Упростим каждое уравнение.

Первое уравнение умножим на 9:

$ (11x+3y) - 9 \cdot 3x = -5 \cdot 9 $

$ 11x + 3y - 27x = -45 $

$ -16x + 3y = -45 $

Второе уравнение умножим на 11:

$ (14x-9y) + 11 \cdot 5y = 8 \cdot 11 $

$ 14x - 9y + 55y = 88 $

$ 14x + 46y = 88 $

Разделим второе уравнение на 2 для упрощения:

$ 7x + 23y = 44 $

Получаем систему:

$ \begin{cases} -16x + 3y = -45, \\ 7x + 23y = 44. \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 23, а второе на -3, чтобы избавиться от $y$:

$ \begin{cases} 23(-16x + 3y) = 23(-45) \\ -3(7x + 23y) = -3(44) \end{cases} \implies \begin{cases} -368x + 69y = -1035 \\ -21x - 69y = -132 \end{cases} $

Сложим два полученных уравнения:

$ (-368x + 69y) + (-21x - 69y) = -1035 - 132 $

$ -389x = -1167 $

$ x = \frac{-1167}{-389} $

$ x = 3 $

Подставим значение $x=3$ в уравнение $7x + 23y = 44$:

$ 7 \cdot 3 + 23y = 44 $

$ 21 + 23y = 44 $

$ 23y = 44 - 21 $

$ 23y = 23 $

$ y = 1 $

Ответ: $x = 3, y = 1$.

3)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x+5y}{2} + \frac{11x-2y}{8} = \frac{2x-4y+6}{5}, \\ \frac{2x-3y}{7} - \frac{y-2x}{5} = \frac{2(9x+7y)}{11}; \end{cases} $

Упростим каждое уравнение.

Для первого уравнения общий знаменатель 40. Умножим его на 40:

$ 20(x+5y) + 5(11x-2y) = 8(2x-4y+6) $

$ 20x + 100y + 55x - 10y = 16x - 32y + 48 $

$ 75x + 90y = 16x - 32y + 48 $

$ 75x - 16x + 90y + 32y = 48 $

$ 59x + 122y = 48 $

Для второго уравнения общий знаменатель $7 \cdot 5 \cdot 11 = 385$. Умножим его на 385:

$ 55(2x-3y) - 77(y-2x) = 35 \cdot 2(9x+7y) $

$ 110x - 165y - 77y + 154x = 70(9x+7y) $

$ 264x - 242y = 630x + 490y $

Перенесем все члены в одну сторону:

$ 0 = 630x - 264x + 490y + 242y $

$ 0 = 366x + 732y $

Разделим уравнение на 366:

$ 0 = x + 2y $

$ x = -2y $

Получаем систему:

$ \begin{cases} 59x + 122y = 48, \\ x = -2y. \end{cases} $

Решим систему методом подстановки. Подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое:

$ 59(-2y) + 122y = 48 $

$ -118y + 122y = 48 $

$ 4y = 48 $

$ y = 12 $

Теперь найдем $x$:

$ x = -2y = -2 \cdot 12 = -24 $

Ответ: $x = -24, y = 12$.

798. За 5 м шерсти и 4 м шёлка в магазине «Ткани» нужно заплатить 7300 р. При передаче остатков ткани в магазин по продаже мерного лоскута цену на шерсть снизили на 25%, на шёлк — на 15%, и в этом магазине за 6 м шерсти и 5 м шёлка нужно заплатить 7025 р. Сколько стоит метр шерсти и метр шёлка в магазине «Ткани»?

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — первоначальная цена за 1 метр шерсти в рублях, а $y$ — первоначальная цена за 1 метр шёлка в рублях в магазине «Ткани».

1. Составление уравнений на основе условий задачи.

Исходя из первого условия, за 5 м шерсти и 4 м шёлка заплатили 7300 рублей. Это можно записать в виде уравнения:

$5x + 4y = 7300$

Далее, в магазине мерного лоскута цену на шерсть снизили на 25%, а на шёлк — на 15%. Найдем новые цены:

• Новая цена шерсти: $x - 0.25x = 0.75x$
• Новая цена шёлка: $y - 0.15y = 0.85y$

По новым ценам за 6 м шерсти и 5 м шёлка заплатили 7025 рублей. Составим второе уравнение:

$6(0.75x) + 5(0.85y) = 7025$

Упростим второе уравнение:

$4.5x + 4.25y = 7025$

В итоге мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} 5x + 4y = 7300 \\ 4.5x + 4.25y = 7025 \end{cases}$

2. Решение системы уравнений.

Для удобства вычислений умножим второе уравнение на 4, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$4 \cdot (4.5x + 4.25y) = 4 \cdot 7025$

$18x + 17y = 28100$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} 5x + 4y = 7300 \\ 18x + 17y = 28100 \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Выразим $x$ из первого уравнения:

$5x = 7300 - 4y$

$x = \frac{7300 - 4y}{5}$

$x = 1460 - 0.8y$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

$18(1460 - 0.8y) + 17y = 28100$

Раскроем скобки:

$26280 - 14.4y + 17y = 28100$

Приведем подобные слагаемые:

$2.6y = 28100 - 26280$

$2.6y = 1820$

$y = \frac{1820}{2.6}$

$y = 700$

Теперь, зная значение $y$, найдем $x$:

$x = 1460 - 0.8 \cdot 700$

$x = 1460 - 560$

$x = 900$

Таким образом, первоначальная цена метра шерсти составляла 900 рублей, а метра шёлка — 700 рублей.

3. Проверка.

Подставим найденные значения в исходные условия:

• Первоначальная покупка: $5 \cdot 900 + 4 \cdot 700 = 4500 + 2800 = 7300$ р. (Верно)
• Новые цены: шерсть $900 \cdot 0.75 = 675$ р., шёлк $700 \cdot 0.85 = 595$ р.
• Покупка со скидкой: $6 \cdot 675 + 5 \cdot 595 = 4050 + 2975 = 7025$ р. (Верно)

Ответ: в магазине «Ткани» метр шерсти стоит 900 рублей, а метр шёлка — 700 рублей.