Страница 263 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

805. За 5 дней работы трактористы засеяли 500 га. Во 2-й день они засеяли на 25 % больше, чем в 1-й, а в 3-й — на 20 % больше, чем во 2-й. Последние два дня они засевали каждый день столько же, сколько во 2-й день. Сколько гектаров засеяли трактористы в 1-й день?

Пусть $x$ — это количество гектаров (га), которое трактористы засеяли в первый день.

Во второй день они засеяли на 25% больше, чем в первый. Чтобы найти это значение, нужно умножить выработку первого дня на 1.25 (так как $100\% + 25\% = 125\%$):
$1.25 \times x = 1.25x$ га.

В третий день было засеяно на 20% больше, чем во второй. Чтобы найти это значение, нужно умножить выработку второго дня на 1.2 (так как $100\% + 20\% = 120\%$):
$1.2 \times (1.25x) = 1.5x$ га.

В последние два дня (четвертый и пятый) они засевали каждый день столько же, сколько во второй день, то есть по $1.25x$ га в каждый из этих дней.

За 5 дней было засеяно 500 га. Можем составить уравнение, сложив площади, засеянные за каждый из пяти дней:
$x (\text{день 1}) + 1.25x (\text{день 2}) + 1.5x (\text{день 3}) + 1.25x (\text{день 4}) + 1.25x (\text{день 5}) = 500$

Сложим все коэффициенты при $x$:
$(1 + 1.25 + 1.5 + 1.25 + 1.25)x = 500$
$6.25x = 500$

Теперь решим уравнение, чтобы найти $x$:
$x = \frac{500}{6.25}$
Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 100:
$x = \frac{50000}{625}$
$x = 80$

Таким образом, в первый день трактористы засеяли 80 гектаров.

Ответ: 80 гектаров.

Упростить (806-807).

806.

1) $(1-a)(1+a+a^2)+a^3;$

2) $(b+3)(b^2-3b+9)-27;$

3) $(\frac{1}{2}-c^2)(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}c^2+c^4)+c^6;$

4) $(2a^2+\frac{1}{3})(4a^4-\frac{2}{3}a^2+\frac{1}{9})-\frac{1}{27}.$

1) $(1-a)(1+a+a^2)+a^3$

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.

В первой части выражения, $(1-a)(1+a+a^2)$, мы можем положить $x=1$ и $y=a$. Тогда второй множитель $(1+a+a^2)$ соответствует $(1^2+1 \cdot a+a^2)$.

Таким образом, произведение $(1-a)(1+a+a^2)$ равно $1^3 - a^3 = 1 - a^3$.

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$(1 - a^3) + a^3$

Складывая подобные члены, получаем:

$1 - a^3 + a^3 = 1$

Ответ: $1$.

2) $(b+3)(b^2-3b+9)-27$

Здесь мы применим формулу сокращенного умножения для суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$.

В части выражения $(b+3)(b^2-3b+9)$ мы можем положить $x=b$ и $y=3$. Второй множитель $(b^2-3b+9)$ соответствует $(b^2 - b \cdot 3 + 3^2)$.

Следовательно, произведение $(b+3)(b^2-3b+9)$ равно $b^3 + 3^3 = b^3 + 27$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$(b^3 + 27) - 27$

Выполняем вычитание:

$b^3 + 27 - 27 = b^3$

Ответ: $b^3$.

3) $(\frac{1}{2}-c^2)(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}c^2+c^4)+c^6$

Это выражение также можно упростить, используя формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.

В произведении $(\frac{1}{2}-c^2)(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}c^2+c^4)$ положим $x=\frac{1}{2}$ и $y=c^2$.

Проверим второй множитель: $x^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$, $xy = \frac{1}{2} \cdot c^2 = \frac{1}{2}c^2$, и $y^2 = (c^2)^2 = c^4$. Выражение во второй скобке соответствует $(x^2+xy+y^2)$.

Таким образом, произведение равно $x^3 - y^3 = (\frac{1}{2})^3 - (c^2)^3 = \frac{1}{8} - c^6$.

Подставим это в исходное выражение:

$(\frac{1}{8} - c^6) + c^6$

Упрощаем:

$\frac{1}{8} - c^6 + c^6 = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}$.

4) $(2a^2+\frac{1}{3})(4a^4-\frac{2}{3}a^2+\frac{1}{9})-\frac{1}{27}$

Для упрощения этого выражения применим формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$.

В произведении $(2a^2+\frac{1}{3})(4a^4-\frac{2}{3}a^2+\frac{1}{9})$ положим $x=2a^2$ и $y=\frac{1}{3}$.

Проверим второй множитель: $x^2 = (2a^2)^2 = 4a^4$, $xy = 2a^2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}a^2$, и $y^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$. Выражение во второй скобке соответствует $(x^2-xy+y^2)$.

Следовательно, произведение равно $x^3 + y^3 = (2a^2)^3 + (\frac{1}{3})^3 = 8a^6 + \frac{1}{27}$.

Подставим полученный результат в исходное выражение:

$(8a^6 + \frac{1}{27}) - \frac{1}{27}$

Выполняем вычитание:

$8a^6 + \frac{1}{27} - \frac{1}{27} = 8a^6$

Ответ: $8a^6$.

807. 1) $(2a - b)^2 - (2a - b)(2a + b);$

2) $(1 - a)^2(1 + a)^2 - (1 - a^4);$

3) $(2a + b)^2 - 9(a + b)^2;$

4) $(a - 2b)^2 - 25(3a - b)^2.$

1) $(2a - b)^2 - (2a - b)(2a + b)$
В данном выражении можно вынести за скобки общий множитель $(2a - b)$:
$(2a - b)((2a - b) - (2a + b))$
Теперь упростим выражение во вторых скобках, раскрыв внутренние скобки:
$(2a - b)(2a - b - 2a - b)$
Приведем подобные слагаемые:
$(2a - b)(-2b)$
Раскроем скобки, умножив каждый член первого двучлена на $-2b$:
$2a \cdot (-2b) - b \cdot (-2b) = -4ab + 2b^2$
Запишем результат в стандартном виде:
$2b^2 - 4ab$
Ответ: $2b^2 - 4ab$

2) $(1 - a)^2(1 + a)^2 - (1 - a^4)$
Сгруппируем первые два множителя, используя свойство степеней $x^n y^n = (xy)^n$ :
$((1 - a)(1 + a))^2 - (1 - a^4)$
Внутри скобок применим формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$ :
$(1^2 - a^2)^2 - (1 - a^4) = (1 - a^2)^2 - (1 - a^4)$
Теперь раскроем квадрат разности по формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ :
$(1 - 2a^2 + (a^2)^2) - (1 - a^4) = 1 - 2a^2 + a^4 - 1 + a^4$
Приведем подобные слагаемые:
$(1 - 1) - 2a^2 + (a^4 + a^4) = -2a^2 + 2a^4$
Ответ: $2a^4 - 2a^2$

3) $(2a + b)^2 - 9(a + b)^2$
Это выражение представляет собой разность квадратов. Представим его в виде $x^2 - y^2$.
$x^2 = (2a + b)^2 \implies x = (2a + b)$
$y^2 = 9(a + b)^2 = (3(a + b))^2 \implies y = 3(a + b)$
Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$((2a + b) - 3(a + b))((2a + b) + 3(a + b))$
Раскроем внутренние скобки в каждом из множителей:
$(2a + b - 3a - 3b)(2a + b + 3a + 3b)$
Приведем подобные слагаемые в каждой скобке:
$(-a - 2b)(5a + 4b)$
Можно вынести минус из первой скобки:
$-(a + 2b)(5a + 4b)$
Ответ: $-(a + 2b)(5a + 4b)$

4) $(a - 2b)^2 - 25(3a - b)^2$
Данное выражение также является разностью квадратов вида $x^2 - y^2$.
$x^2 = (a - 2b)^2 \implies x = a - 2b$
$y^2 = 25(3a - b)^2 = (5(3a - b))^2 \implies y = 5(3a - b)$
Используем формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$((a - 2b) - 5(3a - b))((a - 2b) + 5(3a - b))$
Раскроем скобки внутри каждого множителя:
$(a - 2b - 15a + 5b)(a - 2b + 15a - 5b)$
Приведем подобные слагаемые в каждой скобке:
$(-14a + 3b)(16a - 7b)$
Ответ: $(-14a + 3b)(16a - 7b)$

Разложить на множители (808–810).

808.

1) $a^3b^6c^3-1$;

2) $8a^3b^3+125c^3$;

3) $(a-1)^2+2(a-1)+1$;

4) $(4a-1)^2+2(4a-1)+1.

1)

Данное выражение $a^3b^6c^3 - 1$ представляет собой разность кубов. Воспользуемся формулой разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$.

Сначала представим каждый член выражения в виде куба:

$a^3b^6c^3 = a^3(b^2)^3c^3 = (ab^2c)^3$

$1 = 1^3$

Таким образом, исходное выражение можно переписать как $(ab^2c)^3 - 1^3$.

Применим формулу разности кубов, где $x = ab^2c$ и $y = 1$:

$(ab^2c - 1)((ab^2c)^2 + ab^2c \cdot 1 + 1^2) = (ab^2c - 1)(a^2b^4c^2 + ab^2c + 1)$.

Ответ: $(ab^2c - 1)(a^2b^4c^2 + ab^2c + 1)$.

2)

Выражение $8a^3b^3 + 125c^3$ является суммой кубов. Воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.

Представим каждый член выражения в виде куба:

$8a^3b^3 = 2^3a^3b^3 = (2ab)^3$

$125c^3 = 5^3c^3 = (5c)^3$

Исходное выражение можно переписать как $(2ab)^3 + (5c)^3$.

Применим формулу суммы кубов, где $x = 2ab$ и $y = 5c$:

$(2ab + 5c)((2ab)^2 - (2ab)(5c) + (5c)^2) = (2ab + 5c)(4a^2b^2 - 10abc + 25c^2)$.

Ответ: $(2ab + 5c)(4a^2b^2 - 10abc + 25c^2)$.

3)

Выражение $(a-1)^2 + 2(a-1) + 1$ представляет собой полный квадрат. Используем формулу квадрата суммы: $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.

В данном случае, если мы обозначим $x = a-1$ и $y=1$, то выражение примет вид:

$(a-1)^2 + 2(a-1) \cdot 1 + 1^2$.

Это соответствует левой части формулы квадрата суммы. Следовательно, мы можем свернуть его в квадрат суммы:

$((a-1) + 1)^2 = (a - 1 + 1)^2 = a^2$.

Ответ: $a^2$.

4)

Выражение $(4a-1)^2 + 2(4a-1) + 1$ также является полным квадратом, как и в предыдущем примере. Применим ту же формулу квадрата суммы: $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.

Обозначим $x = 4a-1$ и $y=1$. Выражение можно записать как:

$(4a-1)^2 + 2(4a-1) \cdot 1 + 1^2$.

Свернем его по формуле:

$((4a-1) + 1)^2 = (4a - 1 + 1)^2 = (4a)^2 = 16a^2$.

Ответ: $16a^2$.

809. 1) $4ab^2 + 15abc - 4bcd - 15c^2d;$

2) $m^3 - m^2 + m - 1;$

3) $a^2 + b^2 - c^2 + 2ab;$

4) $(a + 3)^2 - 6(a + 3) + 9;$

5) $(m - 1)(m^2 - 7m) + (m - 1)(5m + 1);$

6) $1 + 2ab - a^2 - b^2.$

1) Для разложения на множители выражения $4ab^2 + 15abc - 4bcd - 15c^2d$ используем метод группировки слагаемых. Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым:

$4ab^2 + 15abc - 4bcd - 15c^2d = (4ab^2 - 4bcd) + (15abc - 15c^2d)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $4b$, а во второй группе вынесем за скобки общий множитель $15c$:

$4b(ab - cd) + 15c(ab - cd)$

Теперь мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель $(ab - cd)$. Вынесем его за скобки:

$(ab - cd)(4b + 15c)$

Ответ: $(ab - cd)(4b + 15c)$

2) Для разложения на множители выражения $m^3 - m^2 + m - 1$ также используем метод группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два:

$(m^3 - m^2) + (m - 1)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $m^2$:

$m^2(m - 1) + 1(m - 1)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(m - 1)$:

$(m - 1)(m^2 + 1)$

Ответ: $(m - 1)(m^2 + 1)$

3) В выражении $a^2 + b^2 - c^2 + 2ab$ перегруппируем слагаемые, чтобы выделить формулу квадрата суммы. Слагаемые $a^2$, $b^2$ и $2ab$ образуют полный квадрат.

$(a^2 + 2ab + b^2) - c^2$

Применим формулу квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$:

$(a + b)^2 - c^2$

Получившееся выражение является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. В нашем случае $x = a+b$ и $y = c$:

$((a + b) - c)((a + b) + c) = (a + b - c)(a + b + c)$

Ответ: $(a + b - c)(a + b + c)$

4) Выражение $(a + 3)^2 - 6(a + 3) + 9$ является полным квадратом. Для удобства можно сделать замену переменной. Пусть $x = a + 3$. Тогда выражение примет вид:

$x^2 - 6x + 9$

Это выражение является квадратом разности по формуле $y^2 - 2yz + z^2 = (y-z)^2$, где $y=x$ и $z=3$:

$(x - 3)^2$

Теперь вернемся к исходной переменной, подставив $x = a + 3$ обратно:

$((a + 3) - 3)^2 = (a)^2 = a^2$

Ответ: $a^2$

5) В выражении $(m - 1)(m^2 - 7m) + (m - 1)(5m + 1)$ есть общий множитель $(m - 1)$, который можно вынести за скобки:

$(m - 1)((m^2 - 7m) + (5m + 1))$

Упростим выражение во второй скобке, приведя подобные слагаемые:

$(m - 1)(m^2 - 7m + 5m + 1) = (m - 1)(m^2 - 2m + 1)$

Выражение во второй скобке $m^2 - 2m + 1$ является полным квадратом разности $(m - 1)^2$:

$(m - 1)(m - 1)^2 = (m - 1)^3$

Ответ: $(m - 1)^3$

6) В выражении $1 + 2ab - a^2 - b^2$ вынесем знак минус за скобки у последних трех слагаемых, чтобы выделить формулу квадрата суммы, но с отрицательным знаком:

$1 - (a^2 - 2ab + b^2)$

Выражение в скобках $a^2 - 2ab + b^2$ является полным квадратом разности $(a - b)^2$:

$1 - (a - b)^2$

Теперь мы имеем разность квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=1$ и $y = a - b$:

$(1 - (a - b))(1 + (a - b))$

Раскроем внутренние скобки:

$(1 - a + b)(1 + a - b)$

Ответ: $(1 - a + b)(1 + a - b)$

810. 1) $a^2 - 2a - 3;$

2) $b^2 - 7b + 12;$

3) $a^3 + a^2 - 12;$

4) $x^3 - 7x + 6;$

5) $m^2 - 7m + 10;$

6) $m^2 - m - 2.$

1) Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $a^2 - 2a - 3$, нужно решить квадратное уравнение $a^2 - 2a - 3 = 0$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.
Найдем корни уравнения по формуле $a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$a_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3$
$a_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = -1$
Разложение квадратного трехчлена имеет вид $a(x-x_1)(x-x_2)$. В нашем случае получаем:
$a^2 - 2a - 3 = (a - 3)(a - (-1)) = (a - 3)(a + 1)$.
Ответ: $(a - 3)(a + 1)$.

2) Чтобы разложить на множители $b^2 - 7b + 12$, решим уравнение $b^2 - 7b + 12 = 0$.
Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней равна коэффициенту при $b$, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:
$b_1 + b_2 = 7$
$b_1 \cdot b_2 = 12$
Подбором находим корни: $b_1 = 3$ и $b_2 = 4$.
Следовательно, разложение на множители имеет вид:
$b^2 - 7b + 12 = (b - 3)(b - 4)$.
Ответ: $(b - 3)(b - 4)$.

3) Для разложения многочлена $a^3 + a^2 - 12$ на множители найдем один из его корней подбором среди целых делителей свободного члена (-12): $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12$.
Проверим $a=2$: $2^3 + 2^2 - 12 = 8 + 4 - 12 = 0$. Значит, $a=2$ является корнем, и многочлен делится на $(a - 2)$.
Чтобы найти второй множитель, выполним преобразование, используя метод группировки. Представим многочлен в виде, удобном для выделения общего множителя $(a - 2)$:
$a^3 + a^2 - 12 = (a^3 - 8) + (a^2 - 4)$
Применим формулы разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$ и разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$(a - 2)(a^2 + 2a + 4) + (a - 2)(a + 2)$
Вынесем общий множитель $(a - 2)$ за скобки:
$(a - 2)((a^2 + 2a + 4) + (a + 2)) = (a - 2)(a^2 + 3a + 6)$.
Проверим, можно ли разложить на множители квадратный трехчлен $a^2 + 3a + 6$. Его дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 - 24 = -15 < 0$, следовательно, у него нет действительных корней, и он не раскладывается на линейные множители.
Ответ: $(a - 2)(a^2 + 3a + 6)$.

4) Для разложения многочлена $x^3 - 7x + 6$ найдем один из его корней подбором среди целых делителей свободного члена 6: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.
Проверим $x=1$: $1^3 - 7 \cdot 1 + 6 = 1 - 7 + 6 = 0$. Значит, $x=1$ является корнем, и многочлен делится на $(x - 1)$.
Выполним преобразование методом группировки:
$x^3 - 7x + 6 = x^3 - x - 6x + 6 = x(x^2 - 1) - 6(x - 1) = x(x - 1)(x + 1) - 6(x - 1)$
Вынесем общий множитель $(x - 1)$ за скобки:
$(x - 1)(x(x + 1) - 6) = (x - 1)(x^2 + x - 6)$
Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 + x - 6$. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение -6. Корни равны 2 и -3.
$x^2 + x - 6 = (x - 2)(x - (-3)) = (x - 2)(x + 3)$.
Окончательное разложение:
$x^3 - 7x + 6 = (x - 1)(x - 2)(x + 3)$.
Ответ: $(x - 1)(x - 2)(x + 3)$.

5) Чтобы разложить на множители $m^2 - 7m + 10$, решим уравнение $m^2 - 7m + 10 = 0$.
Воспользуемся теоремой Виета:
$m_1 + m_2 = 7$
$m_1 \cdot m_2 = 10$
Подбором находим корни: $m_1 = 2$ и $m_2 = 5$.
Следовательно, разложение на множители имеет вид:
$m^2 - 7m + 10 = (m - 2)(m - 5)$.
Ответ: $(m - 2)(m - 5)$.

6) Чтобы разложить на множители $m^2 - m - 2$, решим квадратное уравнение $m^2 - m - 2 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.
Найдем корни уравнения:
$m_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2$
$m_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1$
Разложение имеет вид:
$m^2 - m - 2 = (m - 2)(m - (-1)) = (m - 2)(m + 1)$.
Ответ: $(m - 2)(m + 1)$.

811. Определить значение b, если через точку с координатами (3; 10) проходит график функции, заданной формулой:

1) $y = x + b$;

2) $y = 3x + b$;

3) $y = -\frac{1}{3}x + b$;

4) $y = -\frac{1}{2}x + b$.

Чтобы определить значение b, необходимо использовать тот факт, что график функции проходит через точку с координатами (3; 10). Это означает, что если мы подставим значения $x = 3$ и $y = 10$ в уравнение каждой функции, то получим верное равенство. Из этого равенства мы сможем найти b.

1) Для функции $y = x + b$:
Подставляем в уравнение координаты точки (3; 10):
$10 = 3 + b$
Выражаем b:
$b = 10 - 3$
$b = 7$
Ответ: 7

2) Для функции $y = 3x + b$:
Подставляем в уравнение координаты точки (3; 10):
$10 = 3 \cdot 3 + b$
$10 = 9 + b$
Выражаем b:
$b = 10 - 9$
$b = 1$
Ответ: 1

3) Для функции $y = -\frac{1}{3}x + b$:
Подставляем в уравнение координаты точки (3; 10):
$10 = -\frac{1}{3} \cdot 3 + b$
$10 = -1 + b$
Выражаем b:
$b = 10 - (-1)$
$b = 10 + 1$
$b = 11$
Ответ: 11

4) Для функции $y = -\frac{1}{2}x + b$:
Подставляем в уравнение координаты точки (3; 10):
$10 = -\frac{1}{2} \cdot 3 + b$
$10 = -\frac{3}{2} + b$
Выражаем b:
$b = 10 + \frac{3}{2}$
Чтобы сложить числа, представим 10 в виде дроби со знаменателем 2: $10 = \frac{20}{2}$.
$b = \frac{20}{2} + \frac{3}{2}$
$b = \frac{23}{2}$
Также можно представить ответ в виде десятичной дроби: $b = 11.5$.
Ответ: $\frac{23}{2}$

812. Задать формулой функцию, графиком которой является прямая, проходящая через точки А и В:

1) $A(-6; -3)$, $B(2; -3);$

2) $A(-4; -4)$, $B(3; 3);$

3) $A(2; 2)$, $B(0; 4);$

4) $A(3; -8)$, $B(-5; 32).$

1) A(-6; -3), B(2; -3)

Уравнение прямой, график которой является функцией, имеет общий вид $y = kx + b$.
Поскольку у обеих точек, A и B, одинаковая ордината (координата y), равная -3, то прямая является горизонтальной и параллельна оси абсцисс (Ox).
Формула для такой функции имеет вид $y = c$, где $c$ — это постоянное значение ординаты.
В данном случае $c = -3$, следовательно, формула функции: $y = -3$.
Проверка через общую формулу:
Угловой коэффициент $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-3 - (-3)}{2 - (-6)} = \frac{0}{8} = 0$.
Уравнение принимает вид $y = 0 \cdot x + b$, то есть $y = b$.
Подставив координаты любой из точек, например A(-6; -3), получаем $-3 = b$.
Итоговая формула: $y = -3$.

Ответ: $y = -3$.

2) A(-4; -4), B(3; 3)

Используем общую формулу для линейной функции $y = kx + b$.
Сначала найдем угловой коэффициент $k$ по координатам двух точек:
$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - (-4)}{3 - (-4)} = \frac{3 + 4}{3 + 4} = \frac{7}{7} = 1$.
Теперь уравнение имеет вид $y = 1 \cdot x + b$, или $y = x + b$.
Для нахождения коэффициента $b$ подставим координаты одной из точек, например B(3; 3), в полученное уравнение:
$3 = 3 + b$
$b = 3 - 3 = 0$.
Подставляем найденные значения $k=1$ и $b=0$ в общую формулу: $y = 1 \cdot x + 0$.
Таким образом, искомая формула: $y = x$.

Ответ: $y = x$.

3) A(2; 2), B(0; 4)

Используем общую формулу для линейной функции $y = kx + b$.
Точка B(0; 4) является точкой пересечения прямой с осью ординат (Oy), так как ее абсцисса (координата x) равна нулю. Это означает, что коэффициент $b$ (свободный член) равен ординате этой точки.
Следовательно, $b = 4$.
Теперь уравнение имеет вид $y = kx + 4$.
Для нахождения углового коэффициента $k$ подставим в это уравнение координаты второй точки, A(2; 2):
$2 = k \cdot 2 + 4$
$2k = 2 - 4$
$2k = -2$
$k = -1$.
Подставляем найденные значения $k=-1$ и $b=4$ в общую формулу.
Искомая формула функции: $y = -x + 4$.

Ответ: $y = -x + 4$.

4) A(3; -8), B(-5; 32)

Используем общую формулу для линейной функции $y = kx + b$.
Сначала найдем угловой коэффициент $k$ по координатам двух точек:
$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{32 - (-8)}{-5 - 3} = \frac{32 + 8}{-8} = \frac{40}{-8} = -5$.
Теперь уравнение имеет вид $y = -5x + b$.
Для нахождения коэффициента $b$ подставим координаты одной из точек, например A(3; -8), в полученное уравнение:
$-8 = -5 \cdot 3 + b$
$-8 = -15 + b$
$b = -8 + 15$
$b = 7$.
Подставляем найденные значения $k=-5$ и $b=7$ в общую формулу.
Таким образом, искомая формула функции: $y = -5x + 7$.

Ответ: $y = -5x + 7$.

813. Путь от фермы до города идёт сначала горизонтально, а затем в гору. Фермер проехал на велосипеде горизонтальную часть пути со скоростью $10 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$, в гору шёл пешком со скоростью $3 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$ и прибыл в город через 1 ч 40 мин после выезда с фермы. Обратно он проехал путь под гору со скоростью $15 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$, а горизонтальную часть пути со скоростью $12 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$ и прибыл на ферму через 58 мин после выезда из города. Сколько километров от фермы до города?

Решение:

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ км — это длина горизонтальной части пути, а $y$ км — длина горной части пути. Общее расстояние от фермы до города, которое требуется найти, равно $S = x + y$.

Составим систему уравнений, используя формулу $t = S/v$, где $t$ — время, $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

1. Путь от фермы до города.
Общее время в пути составляет 1 час 40 минут. Переведем это время в часы: $1 \text{ ч } 40 \text{ мин} = 1 + \frac{40}{60} \text{ ч} = 1 + \frac{2}{3} \text{ ч} = \frac{5}{3}$ ч.
Время, затраченное на горизонтальный участок (скорость 10 км/ч), равно $\frac{x}{10}$ ч.
Время, затраченное на подъем в гору (скорость 3 км/ч), равно $\frac{y}{3}$ ч.
Сумма этих отрезков времени дает нам первое уравнение:

$\frac{x}{10} + \frac{y}{3} = \frac{5}{3}$

2. Обратный путь от города до фермы.
Общее время в пути составляет 58 минут. Переведем это время в часы: $58 \text{ мин} = \frac{58}{60} \text{ ч} = \frac{29}{30}$ ч.
Время, затраченное на спуск с горы (скорость 15 км/ч), равно $\frac{y}{15}$ ч.
Время, затраченное на горизонтальный участок (скорость 12 км/ч), равно $\frac{x}{12}$ ч.
Это дает нам второе уравнение:

$\frac{x}{12} + \frac{y}{15} = \frac{29}{30}$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} \frac{x}{10} + \frac{y}{3} = \frac{5}{3} \\ \frac{x}{12} + \frac{y}{15} = \frac{29}{30} \end{cases}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим первое уравнение на 30 (наименьшее общее кратное знаменателей 10 и 3), а второе — на 60 (наименьшее общее кратное знаменателей 12, 15 и 30):

$\begin{cases} 30 \cdot (\frac{x}{10}) + 30 \cdot (\frac{y}{3}) = 30 \cdot (\frac{5}{3}) \\ 60 \cdot (\frac{x}{12}) + 60 \cdot (\frac{y}{15}) = 60 \cdot (\frac{29}{30}) \end{cases} \implies \begin{cases} 3x + 10y = 50 \\ 5x + 4y = 58 \end{cases}$

Решим полученную систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе — на 5, чтобы уравнять коэффициенты при переменной $y$ и затем исключить ее.

$\begin{cases} 2 \cdot (3x + 10y) = 2 \cdot 50 \implies 6x + 20y = 100 \\ 5 \cdot (5x + 4y) = 5 \cdot 58 \implies 25x + 20y = 290 \end{cases}$

Теперь вычтем первое уравнение из второго:

$(25x + 20y) - (6x + 20y) = 290 - 100$

$19x = 190$

$x = 10$

Мы нашли, что длина горизонтальной части пути составляет 10 км. Теперь подставим значение $x=10$ в одно из упрощенных уравнений, например, в $3x + 10y = 50$, чтобы найти $y$:

$3(10) + 10y = 50$

$30 + 10y = 50$

$10y = 50 - 30$

$10y = 20$

$y = 2$

Длина горной части пути составляет 2 км.

Общее расстояние от фермы до города равно сумме длин горизонтального и горного участков:

$S = x + y = 10 + 2 = 12$ км.

Ответ: 12 км.