Номер 813, страница 263 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры VII класса - номер 813, страница 263.

Условие.

813. Путь от фермы до города идёт сначала горизонтально, а затем в гору. Фермер проехал на велосипеде горизонтальную часть пути со скоростью $10 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$, в гору шёл пешком со скоростью $3 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$ и прибыл в город через 1 ч 40 мин после выезда с фермы. Обратно он проехал путь под гору со скоростью $15 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$, а горизонтальную часть пути со скоростью $12 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$ и прибыл на ферму через 58 мин после выезда из города. Сколько километров от фермы до города?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение:

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ км — это длина горизонтальной части пути, а $y$ км — длина горной части пути. Общее расстояние от фермы до города, которое требуется найти, равно $S = x + y$.

Составим систему уравнений, используя формулу $t = S/v$, где $t$ — время, $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

1. Путь от фермы до города.
Общее время в пути составляет 1 час 40 минут. Переведем это время в часы: $1 \text{ ч } 40 \text{ мин} = 1 + \frac{40}{60} \text{ ч} = 1 + \frac{2}{3} \text{ ч} = \frac{5}{3}$ ч.
Время, затраченное на горизонтальный участок (скорость 10 км/ч), равно $\frac{x}{10}$ ч.
Время, затраченное на подъем в гору (скорость 3 км/ч), равно $\frac{y}{3}$ ч.
Сумма этих отрезков времени дает нам первое уравнение:

$\frac{x}{10} + \frac{y}{3} = \frac{5}{3}$

2. Обратный путь от города до фермы.
Общее время в пути составляет 58 минут. Переведем это время в часы: $58 \text{ мин} = \frac{58}{60} \text{ ч} = \frac{29}{30}$ ч.
Время, затраченное на спуск с горы (скорость 15 км/ч), равно $\frac{y}{15}$ ч.
Время, затраченное на горизонтальный участок (скорость 12 км/ч), равно $\frac{x}{12}$ ч.
Это дает нам второе уравнение:

$\frac{x}{12} + \frac{y}{15} = \frac{29}{30}$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} \frac{x}{10} + \frac{y}{3} = \frac{5}{3} \\ \frac{x}{12} + \frac{y}{15} = \frac{29}{30} \end{cases}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим первое уравнение на 30 (наименьшее общее кратное знаменателей 10 и 3), а второе — на 60 (наименьшее общее кратное знаменателей 12, 15 и 30):

$\begin{cases} 30 \cdot (\frac{x}{10}) + 30 \cdot (\frac{y}{3}) = 30 \cdot (\frac{5}{3}) \\ 60 \cdot (\frac{x}{12}) + 60 \cdot (\frac{y}{15}) = 60 \cdot (\frac{29}{30}) \end{cases} \implies \begin{cases} 3x + 10y = 50 \\ 5x + 4y = 58 \end{cases}$

Решим полученную систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе — на 5, чтобы уравнять коэффициенты при переменной $y$ и затем исключить ее.

$\begin{cases} 2 \cdot (3x + 10y) = 2 \cdot 50 \implies 6x + 20y = 100 \\ 5 \cdot (5x + 4y) = 5 \cdot 58 \implies 25x + 20y = 290 \end{cases}$

Теперь вычтем первое уравнение из второго:

$(25x + 20y) - (6x + 20y) = 290 - 100$

$19x = 190$

$x = 10$

Мы нашли, что длина горизонтальной части пути составляет 10 км. Теперь подставим значение $x=10$ в одно из упрощенных уравнений, например, в $3x + 10y = 50$, чтобы найти $y$:

$3(10) + 10y = 50$

$30 + 10y = 50$

$10y = 50 - 30$

$10y = 20$

$y = 2$

Длина горной части пути составляет 2 км.

Общее расстояние от фермы до города равно сумме длин горизонтального и горного участков:

$S = x + y = 10 + 2 = 12$ км.

Ответ: 12 км.