Номер 808, страница 263 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Разложить на множители (808–810).

808.

1) $a^3b^6c^3-1$;

2) $8a^3b^3+125c^3$;

3) $(a-1)^2+2(a-1)+1$;

4) $(4a-1)^2+2(4a-1)+1.

1)

Данное выражение $a^3b^6c^3 - 1$ представляет собой разность кубов. Воспользуемся формулой разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$.

Сначала представим каждый член выражения в виде куба:

$a^3b^6c^3 = a^3(b^2)^3c^3 = (ab^2c)^3$

$1 = 1^3$

Таким образом, исходное выражение можно переписать как $(ab^2c)^3 - 1^3$.

Применим формулу разности кубов, где $x = ab^2c$ и $y = 1$:

$(ab^2c - 1)((ab^2c)^2 + ab^2c \cdot 1 + 1^2) = (ab^2c - 1)(a^2b^4c^2 + ab^2c + 1)$.

Ответ: $(ab^2c - 1)(a^2b^4c^2 + ab^2c + 1)$.

2)

Выражение $8a^3b^3 + 125c^3$ является суммой кубов. Воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.

Представим каждый член выражения в виде куба:

$8a^3b^3 = 2^3a^3b^3 = (2ab)^3$

$125c^3 = 5^3c^3 = (5c)^3$

Исходное выражение можно переписать как $(2ab)^3 + (5c)^3$.

Применим формулу суммы кубов, где $x = 2ab$ и $y = 5c$:

$(2ab + 5c)((2ab)^2 - (2ab)(5c) + (5c)^2) = (2ab + 5c)(4a^2b^2 - 10abc + 25c^2)$.

Ответ: $(2ab + 5c)(4a^2b^2 - 10abc + 25c^2)$.

3)

Выражение $(a-1)^2 + 2(a-1) + 1$ представляет собой полный квадрат. Используем формулу квадрата суммы: $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.

В данном случае, если мы обозначим $x = a-1$ и $y=1$, то выражение примет вид:

$(a-1)^2 + 2(a-1) \cdot 1 + 1^2$.

Это соответствует левой части формулы квадрата суммы. Следовательно, мы можем свернуть его в квадрат суммы:

$((a-1) + 1)^2 = (a - 1 + 1)^2 = a^2$.

Ответ: $a^2$.

4)

Выражение $(4a-1)^2 + 2(4a-1) + 1$ также является полным квадратом, как и в предыдущем примере. Применим ту же формулу квадрата суммы: $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.

Обозначим $x = 4a-1$ и $y=1$. Выражение можно записать как:

$(4a-1)^2 + 2(4a-1) \cdot 1 + 1^2$.

Свернем его по формуле:

$((4a-1) + 1)^2 = (4a - 1 + 1)^2 = (4a)^2 = 16a^2$.

Ответ: $16a^2$.