Номер 802, страница 262 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

802. 1) Разложить на множители каждое из выражений:

$A=(2x-3)^2-(x+2)^2$,

$B=(2x^2-2x)-10x+10.$

2) При каких значениях $x$ значение каждого выражения равно нулю?

1) Разложим на множители каждое из выражений:

Выражение A:

Для разложения выражения $A = (2x-3)^2 - (x+2)^2$ воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

В нашем случае $a = 2x-3$ и $b = x+2$.

$A = ((2x-3) - (x+2))((2x-3) + (x+2))$

Раскроем скобки внутри каждой из групп:

$A = (2x-3-x-2)(2x-3+x+2)$

Приведем подобные слагаемые в каждой скобке:

$A = (x-5)(3x-1)$

Ответ: $A = (x-5)(3x-1)$.

Выражение B:

Для выражения $B = (2x^2-2x) - 10x + 10$ сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки. В первой скобке вынесем $2x$, а из второй группы слагаемых $(-10x+10)$ вынесем $-10$.

$B = 2x(x-1) - 10(x-1)$

Теперь мы видим общий множитель $(x-1)$, который можно вынести за скобки:

$B = (x-1)(2x-10)$

Из второго множителя $(2x-10)$ можно вынести общий множитель 2:

$B = (x-1) \cdot 2(x-5)$

Таким образом, получаем:

$B = 2(x-1)(x-5)$

Ответ: $B = 2(x-1)(x-5)$.

2) Найдем, при каких значениях $x$ значение каждого выражения равно нулю.

Для выражения A:

Приравняем разложенное на множители выражение к нулю:

$A = (x-5)(3x-1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому:

$x-5=0$ или $3x-1=0$

Из первого уравнения получаем $x_1 = 5$.

Из второго уравнения получаем $3x = 1$, откуда $x_2 = \frac{1}{3}$.

Ответ: при $x=5$ или $x=\frac{1}{3}$.

Для выражения B:

Приравняем разложенное на множители выражение к нулю:

$B = 2(x-1)(x-5) = 0$

Поскольку $2 \neq 0$, то один из других множителей должен быть равен нулю:

$x-1=0$ или $x-5=0$

Из первого уравнения получаем $x_1 = 1$.

Из второго уравнения получаем $x_2 = 5$.

Ответ: при $x=1$ или $x=5$.