Номер 801, страница 262 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры VII класса - номер 801, страница 262.

Условие.

801. Дано выражение $(x^2 - 9)^2 - (x+3)^2$.

1) Разложить данное выражение на множители.

2) При каких значениях $x$ значение выражения равно нулю?

3) Записать данное выражение в виде многочлена стандартного вида.

4) Найти числовое значение выражения при $x=-3$, $x=3$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

1) Разложить данное выражение на множители.

Дано выражение $(x^2-9)^2-(x+3)^2$. Заметим, что выражение в первой скобке, $x^2-9$, является разностью квадратов: $x^2-9 = x^2-3^2 = (x-3)(x+3)$. Подставим это в исходное выражение: $$ ((x-3)(x+3))^2 - (x+3)^2 $$ Используя свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$, получаем: $$ (x-3)^2(x+3)^2 - (x+3)^2 $$ Теперь можно вынести общий множитель $(x+3)^2$ за скобки: $$ (x+3)^2 ((x-3)^2 - 1) $$ Выражение во вторых скобках, $(x-3)^2 - 1$, также является разностью квадратов, где $a = x-3$ и $b=1$. Применим формулу $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$: $$ (x-3)^2 - 1^2 = ((x-3)-1)((x-3)+1) = (x-4)(x-2) $$ Таким образом, окончательное разложение на множители имеет вид: $$ (x+3)^2(x-2)(x-4) $$ Ответ: $(x-2)(x-4)(x+3)^2$.

2) При каких значениях x значение выражения равно нулю?

Значение выражения равно нулю, когда его разложенная на множители форма равна нулю. Приравняем полученное в пункте 1) выражение к нулю: $$ (x-2)(x-4)(x+3)^2 = 0 $$ Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим каждый множитель:
1) $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$
2) $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$
3) $(x + 3)^2 = 0 \Rightarrow x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$
Следовательно, выражение обращается в нуль при трех значениях $x$.
Ответ: $x = -3, x = 2, x = 4$.

3) Записать данное выражение в виде многочлена стандартного вида.

Для приведения выражения к многочлену стандартного вида раскроем скобки в исходном выражении $(x^2 - 9)^2 - (x + 3)^2$, используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Раскроем первую скобку: $$ (x^2 - 9)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 9 + 9^2 = x^4 - 18x^2 + 81 $$ Раскроем вторую скобку: $$ (x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9 $$ Теперь выполним вычитание: $$ (x^4 - 18x^2 + 81) - (x^2 + 6x + 9) = x^4 - 18x^2 + 81 - x^2 - 6x - 9 $$ Приведем подобные члены, расположив их в порядке убывания степеней $x$: $$ x^4 + (-18x^2 - x^2) - 6x + (81 - 9) = x^4 - 19x^2 - 6x + 72 $$ Ответ: $x^4 - 19x^2 - 6x + 72$.

4) Найти числовое значение выражения при x=-3, x=3.

Для нахождения числовых значений подставим $x$ в одну из форм выражения. Удобно использовать исходную форму $(x^2 - 9)^2 - (x + 3)^2$.
При $x = -3$: $$ ((-3)^2 - 9)^2 - (-3 + 3)^2 = (9 - 9)^2 - (0)^2 = 0^2 - 0 = 0 $$ При $x = 3$: $$ ((3)^2 - 9)^2 - (3 + 3)^2 = (9 - 9)^2 - (6)^2 = 0^2 - 36 = 0 - 36 = -36 $$ Ответ: при $x = -3$ значение выражения равно 0; при $x = 3$ значение выражения равно -36.