Номер 798, страница 261 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

798. За 5 м шерсти и 4 м шёлка в магазине «Ткани» нужно заплатить 7300 р. При передаче остатков ткани в магазин по продаже мерного лоскута цену на шерсть снизили на 25%, на шёлк — на 15%, и в этом магазине за 6 м шерсти и 5 м шёлка нужно заплатить 7025 р. Сколько стоит метр шерсти и метр шёлка в магазине «Ткани»?

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — первоначальная цена за 1 метр шерсти в рублях, а $y$ — первоначальная цена за 1 метр шёлка в рублях в магазине «Ткани».

1. Составление уравнений на основе условий задачи.

Исходя из первого условия, за 5 м шерсти и 4 м шёлка заплатили 7300 рублей. Это можно записать в виде уравнения:

$5x + 4y = 7300$

Далее, в магазине мерного лоскута цену на шерсть снизили на 25%, а на шёлк — на 15%. Найдем новые цены:

• Новая цена шерсти: $x - 0.25x = 0.75x$
• Новая цена шёлка: $y - 0.15y = 0.85y$

По новым ценам за 6 м шерсти и 5 м шёлка заплатили 7025 рублей. Составим второе уравнение:

$6(0.75x) + 5(0.85y) = 7025$

Упростим второе уравнение:

$4.5x + 4.25y = 7025$

В итоге мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} 5x + 4y = 7300 \\ 4.5x + 4.25y = 7025 \end{cases}$

2. Решение системы уравнений.

Для удобства вычислений умножим второе уравнение на 4, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$4 \cdot (4.5x + 4.25y) = 4 \cdot 7025$

$18x + 17y = 28100$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} 5x + 4y = 7300 \\ 18x + 17y = 28100 \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Выразим $x$ из первого уравнения:

$5x = 7300 - 4y$

$x = \frac{7300 - 4y}{5}$

$x = 1460 - 0.8y$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

$18(1460 - 0.8y) + 17y = 28100$

Раскроем скобки:

$26280 - 14.4y + 17y = 28100$

Приведем подобные слагаемые:

$2.6y = 28100 - 26280$

$2.6y = 1820$

$y = \frac{1820}{2.6}$

$y = 700$

Теперь, зная значение $y$, найдем $x$:

$x = 1460 - 0.8 \cdot 700$

$x = 1460 - 560$

$x = 900$

Таким образом, первоначальная цена метра шерсти составляла 900 рублей, а метра шёлка — 700 рублей.

3. Проверка.

Подставим найденные значения в исходные условия:

• Первоначальная покупка: $5 \cdot 900 + 4 \cdot 700 = 4500 + 2800 = 7300$ р. (Верно)
• Новые цены: шерсть $900 \cdot 0.75 = 675$ р., шёлк $700 \cdot 0.85 = 595$ р.
• Покупка со скидкой: $6 \cdot 675 + 5 \cdot 595 = 4050 + 2975 = 7025$ р. (Верно)

Ответ: в магазине «Ткани» метр шерсти стоит 900 рублей, а метр шёлка — 700 рублей.