Номер 806, страница 263 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Упростить (806-807).

806.

1) $(1-a)(1+a+a^2)+a^3;$

2) $(b+3)(b^2-3b+9)-27;$

3) $(\frac{1}{2}-c^2)(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}c^2+c^4)+c^6;$

4) $(2a^2+\frac{1}{3})(4a^4-\frac{2}{3}a^2+\frac{1}{9})-\frac{1}{27}.$

1) $(1-a)(1+a+a^2)+a^3$

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.

В первой части выражения, $(1-a)(1+a+a^2)$, мы можем положить $x=1$ и $y=a$. Тогда второй множитель $(1+a+a^2)$ соответствует $(1^2+1 \cdot a+a^2)$.

Таким образом, произведение $(1-a)(1+a+a^2)$ равно $1^3 - a^3 = 1 - a^3$.

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$(1 - a^3) + a^3$

Складывая подобные члены, получаем:

$1 - a^3 + a^3 = 1$

Ответ: $1$.

2) $(b+3)(b^2-3b+9)-27$

Здесь мы применим формулу сокращенного умножения для суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$.

В части выражения $(b+3)(b^2-3b+9)$ мы можем положить $x=b$ и $y=3$. Второй множитель $(b^2-3b+9)$ соответствует $(b^2 - b \cdot 3 + 3^2)$.

Следовательно, произведение $(b+3)(b^2-3b+9)$ равно $b^3 + 3^3 = b^3 + 27$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$(b^3 + 27) - 27$

Выполняем вычитание:

$b^3 + 27 - 27 = b^3$

Ответ: $b^3$.

3) $(\frac{1}{2}-c^2)(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}c^2+c^4)+c^6$

Это выражение также можно упростить, используя формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.

В произведении $(\frac{1}{2}-c^2)(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}c^2+c^4)$ положим $x=\frac{1}{2}$ и $y=c^2$.

Проверим второй множитель: $x^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$, $xy = \frac{1}{2} \cdot c^2 = \frac{1}{2}c^2$, и $y^2 = (c^2)^2 = c^4$. Выражение во второй скобке соответствует $(x^2+xy+y^2)$.

Таким образом, произведение равно $x^3 - y^3 = (\frac{1}{2})^3 - (c^2)^3 = \frac{1}{8} - c^6$.

Подставим это в исходное выражение:

$(\frac{1}{8} - c^6) + c^6$

Упрощаем:

$\frac{1}{8} - c^6 + c^6 = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}$.

4) $(2a^2+\frac{1}{3})(4a^4-\frac{2}{3}a^2+\frac{1}{9})-\frac{1}{27}$

Для упрощения этого выражения применим формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$.

В произведении $(2a^2+\frac{1}{3})(4a^4-\frac{2}{3}a^2+\frac{1}{9})$ положим $x=2a^2$ и $y=\frac{1}{3}$.

Проверим второй множитель: $x^2 = (2a^2)^2 = 4a^4$, $xy = 2a^2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}a^2$, и $y^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$. Выражение во второй скобке соответствует $(x^2-xy+y^2)$.

Следовательно, произведение равно $x^3 + y^3 = (2a^2)^3 + (\frac{1}{3})^3 = 8a^6 + \frac{1}{27}$.

Подставим полученный результат в исходное выражение:

$(8a^6 + \frac{1}{27}) - \frac{1}{27}$

Выполняем вычитание:

$8a^6 + \frac{1}{27} - \frac{1}{27} = 8a^6$

Ответ: $8a^6$.