Номер 815, страница 264 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

815. Для содержания лошадей был сделан запас сена на некоторое время. Если бы лошадей было на две меньше, то этого запаса сена хватило бы ещё на 10 дней; если бы лошадей было на две больше, то запаса сена не хватило бы на 6 дней. Сколько было лошадей и на сколько дней был сделан запас сена?

Для решения задачи введем переменные:

Пусть $x$ — первоначальное количество лошадей, а $y$ — количество дней, на которое был сделан запас сена.

Общий объем запаса сена является величиной постоянной. Его можно выразить как произведение количества лошадей на количество дней. Обозначим его за $S$.

$S = x \cdot y$

Теперь рассмотрим условия задачи и составим уравнения.

1. Если бы лошадей было на две меньше, то запаса хватило бы ещё на 10 дней.

Количество лошадей становится $x - 2$.

Количество дней становится $y + 10$.

Общий запас сена остается тем же, поэтому мы можем составить первое уравнение:

$(x - 2)(y + 10) = xy$

2. Если бы лошадей было на две больше, то запаса не хватило бы на 6 дней.

Количество лошадей становится $x + 2$.

Количество дней становится $y - 6$.

Снова приравниваем к общему запасу сена и получаем второе уравнение:

$(x + 2)(y - 6) = xy$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} (x - 2)(y + 10) = xy \\ (x + 2)(y - 6) = xy \end{cases}$

Раскроем скобки в каждом уравнении:

$\begin{cases} xy + 10x - 2y - 20 = xy \\ xy - 6x + 2y - 12 = xy \end{cases}$

Упростим уравнения, вычитая $xy$ из обеих частей каждого уравнения:

$\begin{cases} 10x - 2y - 20 = 0 \\ -6x + 2y - 12 = 0 \end{cases}$

Перенесем свободные члены в правую часть:

$\begin{cases} 10x - 2y = 20 \\ -6x + 2y = 12 \end{cases}$

Эта система легко решается методом сложения. Сложим левые и правые части уравнений:

$(10x - 2y) + (-6x + 2y) = 20 + 12$

$10x - 6x - 2y + 2y = 32$

$4x = 32$

$x = \frac{32}{4}$

$x = 8$

Таким образом, первоначально было 8 лошадей.

Теперь найдем $y$, подставив значение $x=8$ в любое из упрощенных уравнений. Возьмем первое: $10x - 2y = 20$.

$10 \cdot 8 - 2y = 20$

$80 - 2y = 20$

$80 - 20 = 2y$

$60 = 2y$

$y = \frac{60}{2}$

$y = 30$

Следовательно, запас сена был сделан на 30 дней.

Проверка:

Изначальный запас: $8 \text{ лошадей} \cdot 30 \text{ дней} = 240$ условных единиц сена.

По первому условию: $(8-2) \text{ лошадей} \cdot (30+10) \text{ дней} = 6 \cdot 40 = 240$ единиц. Верно.

По второму условию: $(8+2) \text{ лошадей} \cdot (30-6) \text{ дней} = 10 \cdot 24 = 240$ единиц. Верно.

Ответ: первоначально было 8 лошадей, и запас сена был сделан на 30 дней.