Номер 816, страница 264 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры VII класса - номер 816, страница 264.

Условие.

816. Первая труба наполняет бассейн за половину того времени, за которое вторая труба наполняет $\frac{2}{3}$ этого бассейна. Вторая труба, работая отдельно, наполняет бассейн на 6 ч дольше, чем одна первая труба. Сколько времени наполняет бассейн каждая труба отдельно?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений на основе условий.

1. Введение переменных
Пусть $x$ часов — время, за которое первая труба наполняет весь бассейн, работая отдельно.
Пусть $y$ часов — время, за которое вторая труба наполняет весь бассейн, работая отдельно.

2. Составление уравнений по условиям задачи
Условие 1: "Первая труба наполняет бассейн за половину того времени, за которое вторая труба наполняет $\frac{2}{3}$ этого бассейна."
Время, за которое вторая труба наполнит $\frac{2}{3}$ бассейна, составляет $\frac{2}{3}$ от ее полного времени, то есть $y \cdot \frac{2}{3}$ часов.
Время первой трубы ($x$) равно половине этого времени:
$x = \frac{1}{2} \cdot \left(y \cdot \frac{2}{3}\right)$
$x = \frac{2y}{6}$
$x = \frac{y}{3}$
Из этого следует первое уравнение: $y = 3x$.

Условие 2: "Вторая труба, работая отдельно, наполняет бассейн на 6 ч дольше, чем одна первая труба."
Это означает, что время второй трубы ($y$) на 6 часов больше времени первой трубы ($x$).
Отсюда получаем второе уравнение: $y = x + 6$.

3. Решение системы уравнений
Мы получили систему из двух линейных уравнений: $$ \begin{cases} y = 3x \\ y = x + 6 \end{cases} $$ Поскольку левые части уравнений равны, мы можем приравнять их правые части: $3x = x + 6$
Перенесем $x$ в левую часть уравнения: $3x - x = 6$
$2x = 6$
$x = \frac{6}{2}$
$x = 3$
Итак, мы нашли время работы первой трубы: 3 часа.

4. Нахождение времени для второй трубы
Теперь подставим найденное значение $x$ в любое из уравнений системы. Возьмем первое: $y = 3x$
$y = 3 \cdot 3$
$y = 9$
Время работы второй трубы: 9 часов.

Проверка:
Время первой трубы — 3 часа. Время второй трубы — 9 часов.
1. Вторая труба на 6 часов дольше первой: $9 - 3 = 6$. Условие выполняется.
2. Вторая труба наполнит $\frac{2}{3}$ бассейна за $9 \cdot \frac{2}{3} = 6$ часов. Половина этого времени — $6 \div 2 = 3$ часа. Это равно времени первой трубы. Условие выполняется.

Ответ: первая труба наполняет бассейн за 3 часа, вторая труба — за 9 часов.