Страница 268 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

843. Доказать, что равенство $4x^2 + 9y^2 - 4x + 6y + 2 = 0$ является верным только при $x = \frac{1}{2}$, $y = -\frac{1}{3}$.

Для того чтобы доказать, что данное равенство является верным только при указанных значениях переменных, преобразуем его левую часть, применив метод выделения полного квадрата.

Исходное уравнение: $4x^2 + 9y^2 - 4x + 6y + 2 = 0$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и с переменной $y$:
$(4x^2 - 4x) + (9y^2 + 6y) + 2 = 0$

Выделим полный квадрат для выражения с $x$. Для этого воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Выражение $4x^2 - 4x$ можно представить как $(2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 1$. Чтобы получить полный квадрат, необходимо добавить и вычесть $1^2 = 1$:
$4x^2 - 4x = (4x^2 - 4x + 1) - 1 = (2x - 1)^2 - 1$

Аналогично выделим полный квадрат для выражения с $y$, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Выражение $9y^2 + 6y$ можно представить как $(3y)^2 + 2 \cdot (3y) \cdot 1$. Чтобы получить полный квадрат, необходимо добавить и вычесть $1^2 = 1$:
$9y^2 + 6y = (9y^2 + 6y + 1) - 1 = (3y + 1)^2 - 1$

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное уравнение:
$((2x - 1)^2 - 1) + ((3y + 1)^2 - 1) + 2 = 0$

Раскроем скобки и упростим уравнение:
$(2x - 1)^2 - 1 + (3y + 1)^2 - 1 + 2 = 0$
$(2x - 1)^2 + (3y + 1)^2 = 0$

Мы получили уравнение, в левой части которого находится сумма двух квадратов. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(2x - 1)^2 \ge 0$ и $(3y + 1)^2 \ge 0$ для любых значений $x$ и $y$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих слагаемых равно нулю. Следовательно, равенство может выполняться только при одновременном выполнении следующей системы условий:

$ \begin{cases} (2x - 1)^2 = 0 \\ (3y + 1)^2 = 0 \end{cases} $

Решим каждое уравнение системы:
1) $(2x - 1)^2 = 0 \implies 2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$
2) $(3y + 1)^2 = 0 \implies 3y + 1 = 0 \implies 3y = -1 \implies y = -\frac{1}{3}$

Таким образом, мы показали, что исходное равенство $4x^2 + 9y^2 - 4x + 6y + 2 = 0$ выполняется только в том случае, когда $x = \frac{1}{2}$ и $y = -\frac{1}{3}$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

844. Доказать, что равенство $x^2 + y^2 + z^2 = xy + xz + yz$ является верным только тогда, когда $x = y = z$.

Данное утверждение является утверждением о равносильности, поэтому для его доказательства необходимо показать два факта:
1. Если $x = y = z$, то равенство $x^2 + y^2 + z^2 = xy + xz + yz$ является верным.
2. Если равенство $x^2 + y^2 + z^2 = xy + xz + yz$ является верным, то из этого следует, что $x = y = z$.

Проверка первого факта (достаточность).
Пусть $x = y = z$. Подставим эти значения в левую и правую части исходного равенства.
Левая часть: $L = x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + x^2 + x^2 = 3x^2$.
Правая часть: $R = xy + xz + yz = x \cdot x + x \cdot x + x \cdot x = x^2 + x^2 + x^2 = 3x^2$.
Поскольку $L = R$, равенство выполняется.

Доказательство второго факта (необходимость).
Пусть дано равенство $x^2 + y^2 + z^2 = xy + xz + yz$.
Перенесем все члены из правой части в левую:
$x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz = 0$
Умножим обе части этого уравнения на 2. Это преобразование является равносильным.
$2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2xz - 2yz = 0$
Теперь сгруппируем слагаемые таким образом, чтобы выделить полные квадраты разностей. Для этого представим $2x^2$ как $x^2 + x^2$, $2y^2$ как $y^2 + y^2$ и $2z^2$ как $z^2 + z^2$.
$(x^2 - 2xy + y^2) + (x^2 - 2xz + z^2) + (y^2 - 2yz + z^2) = 0$
Каждое выражение в скобках является полным квадратом разности двух переменных:
$(x - y)^2 + (x - z)^2 + (y - z)^2 = 0$
В левой части уравнения стоит сумма трех квадратов. Поскольку переменные $x, y, z$ являются действительными числами, квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(x - y)^2 \ge 0$, $(x - z)^2 \ge 0$ и $(y - z)^2 \ge 0$.
Сумма нескольких неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю.
Следовательно, мы получаем систему из трех уравнений:
$(x - y)^2 = 0 \implies x - y = 0 \implies x = y$
$(x - z)^2 = 0 \implies x - z = 0 \implies x = z$
$(y - z)^2 = 0 \implies y - z = 0 \implies y = z$
Из этой системы однозначно следует, что $x = y = z$.

Таким образом, мы доказали оба факта, а значит, и исходное утверждение.

Ответ: Утверждение доказано. Равенство $x^2 + y^2 + z^2 = xy + xz + yz$ верно только при условии $x=y=z$.

845. Разложить на множители:

1) $a^3 + 2a^2 - 3;$
2) $a^3 + a^2 + 4;$
3) $a^5 + a + 1;$
4) $a^3 - 6a^2 - a + 30.$

Для разложения многочлена $a^3+2a^2-3$ на множители, найдем один из его корней. По теореме о рациональных корнях, возможные целые корни являются делителями свободного члена $-3$, то есть $ \pm 1, \pm 3 $. Подставим $a=1$: $1^3 + 2 \cdot 1^2 - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$. Следовательно, $a=1$ является корнем многочлена, а $(a-1)$ — одним из его множителей. Чтобы найти второй множитель, можно разделить многочлен $a^3+2a^2-3$ на $(a-1)$ столбиком, или сгруппировать слагаемые: $a^3+2a^2-3 = a^3 - a^2 + 3a^2 - 3 = a^2(a-1) + 3(a^2-1) = a^2(a-1) + 3(a-1)(a+1)$. Вынесем общий множитель $(a-1)$ за скобки: $(a-1)(a^2 + 3(a+1)) = (a-1)(a^2+3a+3)$. Квадратный трехчлен $a^2+3a+3$ не имеет действительных корней, так как его дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9-12 = -3 < 0$. Поэтому дальнейшее разложение на множители с действительными коэффициентами невозможно.
Ответ: $(a-1)(a^2+3a+3)$

Для разложения многочлена $a^3+a^2+4$ на множители, найдем один из его корней. Возможные целые корни — это делители свободного члена $4$, то есть $ \pm 1, \pm 2, \pm 4 $. Подставим $a=-2$: $(-2)^3 + (-2)^2 + 4 = -8 + 4 + 4 = 0$. Значит, $a=-2$ является корнем, а $(a+2)$ — одним из множителей. Разложим многочлен на множители методом группировки, представив некоторые слагаемые в виде суммы или разности: $a^3+a^2+4 = a^3 + 8 + a^2 - 4 = (a^3+2^3) + (a^2-2^2)$. Применим формулы суммы кубов и разности квадратов: $(a+2)(a^2-2a+4) + (a-2)(a+2)$. Вынесем общий множитель $(a+2)$ за скобки: $(a+2)((a^2-2a+4) + (a-2)) = (a+2)(a^2-2a+4+a-2) = (a+2)(a^2-a+2)$. Проверим, можно ли разложить квадратный трехчлен $a^2-a+2$. Его дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 < 0$. Так как дискриминант отрицательный, дальнейшее разложение невозможно.
Ответ: $(a+2)(a^2-a+2)$

Данный многочлен $a^5+a+1$ не имеет целых корней (проверка $a=1$ и $a=-1$ дает $3$ и $-1$ соответственно). Для его разложения применим метод добавления и вычитания слагаемого. Добавим и вычтем $a^2$: $a^5+a+1 = a^5 - a^2 + a^2 + a + 1$. Сгруппируем слагаемые: $(a^5-a^2) + (a^2+a+1) = a^2(a^3-1) + (a^2+a+1)$. Используем формулу разности кубов $a^3-1 = (a-1)(a^2+a+1)$: $a^2(a-1)(a^2+a+1) + (a^2+a+1)$. Вынесем общий множитель $(a^2+a+1)$ за скобки: $(a^2+a+1)(a^2(a-1)+1) = (a^2+a+1)(a^3-a^2+1)$. Множитель $a^2+a+1$ не раскладывается на множители с действительными коэффициентами, так как его дискриминант отрицателен. Множитель $a^3-a^2+1$ не имеет целых корней, что проверяется подстановкой $ \pm 1 $.
Ответ: $(a^2+a+1)(a^3-a^2+1)$

Для разложения многочлена $a^3 - 6a^2 - a + 30$ на множители, найдем один из его целых корней среди делителей свободного члена $30$. Подставим $a=3$: $3^3 - 6 \cdot 3^2 - 3 + 30 = 27 - 54 - 3 + 30 = 0$. Так как $a=3$ является корнем, то $(a-3)$ — один из множителей. Выполним разложение методом группировки: $a^3 - 6a^2 - a + 30 = (a^3 - 3a^2) - 3a^2 - a + 30 = a^2(a-3) - (3a^2 + a - 30)$. Изменим группировку для удобства: $a^3 - 3a^2 - 3a^2 + 9a - 10a + 30 = a^2(a-3) - 3a(a-3) - 10(a-3)$. Вынесем общий множитель $(a-3)$ за скобки: $(a-3)(a^2 - 3a - 10)$. Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $a^2-3a-10$. По теореме Виета, сумма корней равна $3$, а их произведение равно $-10$. Корнями являются числа $5$ и $-2$. Следовательно, $a^2-3a-10 = (a-5)(a-(-2)) = (a-5)(a+2)$. Таким образом, окончательное разложение многочлена: $(a-3)(a-5)(a+2)$.
Ответ: $(a-3)(a-5)(a+2)$

846. Разложить на множители:

1) $a^4 + 2a^2 - 3;$

2) $a^4 + 4;$

3) $a^5 + a^2 - a - 1;$

4) $a^4 - a^3 - 5a^2 - a - 6.$

1) Для разложения многочлена $a^4 + 2a^2 - 3$ на множители, введем замену переменной. Пусть $x = a^2$. Тогда исходное выражение примет вид квадратного трехчлена:

$x^2 + 2x - 3$

Разложим этот трехчлен на множители. Для этого найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, произведение корней равно -3, а их сумма равна -2. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Следовательно, $x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x - (-3)) = (x - 1)(x + 3)$.

Теперь вернемся к исходной переменной $a$, подставив $a^2$ вместо $x$:

$(a^2 - 1)(a^2 + 3)$

Выражение $(a^2 - 1)$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $b^2 - c^2 = (b-c)(b+c)$:

$a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$

Таким образом, окончательное разложение на множители имеет вид:

$(a - 1)(a + 1)(a^2 + 3)$

Ответ: $(a - 1)(a + 1)(a^2 + 3)$.

2) Для разложения выражения $a^4 + 4$ на множители используем метод выделения полного квадрата. Добавим и вычтем $4a^2$, чтобы можно было свернуть часть выражения в полный квадрат суммы:

$a^4 + 4 = a^4 + 4a^2 + 4 - 4a^2$

Сгруппируем первые три слагаемых. Они образуют полный квадрат $(a^2+2)^2$:

$(a^4 + 4a^2 + 4) - 4a^2 = (a^2 + 2)^2 - 4a^2$

Теперь мы получили разность квадратов, так как $4a^2 = (2a)^2$. Применим формулу разности квадратов $b^2 - c^2 = (b-c)(b+c)$:

$(a^2 + 2)^2 - (2a)^2 = ((a^2 + 2) - 2a)((a^2 + 2) + 2a)$

Упорядочим слагаемые в каждом множителе:

$(a^2 - 2a + 2)(a^2 + 2a + 2)$

Ответ: $(a^2 - 2a + 2)(a^2 + 2a + 2)$.

3) Разложим многочлен $a^5 + a^2 - a - 1$ на множители методом группировки. Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$(a^5 - a) + (a^2 - 1)$

Вынесем общий множитель $a$ из первой группы:

$a(a^4 - 1) + (a^2 - 1)$

Выражение $a^4 - 1$ является разностью квадратов: $(a^2)^2 - 1^2 = (a^2 - 1)(a^2 + 1)$. Подставим это в наше выражение:

$a(a^2 - 1)(a^2 + 1) + 1 \cdot (a^2 - 1)$

Теперь мы видим общий множитель $(a^2 - 1)$, который можно вынести за скобки:

$(a^2 - 1)(a(a^2 + 1) + 1)$

Раскроем скобки во втором множителе:

$(a^2 - 1)(a^3 + a + 1)$

Первый множитель $(a^2 - 1)$ также является разностью квадратов и раскладывается как $(a - 1)(a + 1)$.

Окончательное разложение:

$(a - 1)(a + 1)(a^3 + a + 1)$

Ответ: $(a - 1)(a + 1)(a^3 + a + 1)$.

4) Для разложения многочлена $a^4 - a^3 - 5a^2 - a - 6$ на множители применим метод группировки с предварительным преобразованием. Представим слагаемое $-5a^2$ в виде суммы $-6a^2 + a^2$:

$a^4 - a^3 - 5a^2 - a - 6 = a^4 - a^3 - 6a^2 + a^2 - a - 6$

Теперь сгруппируем слагаемые:

$(a^4 - a^3 - 6a^2) + (a^2 - a - 6)$

Вынесем общий множитель $a^2$ из первой группы:

$a^2(a^2 - a - 6) + 1(a^2 - a - 6)$

Мы видим общий множитель $(a^2 - a - 6)$, который можно вынести за скобки:

$(a^2 + 1)(a^2 - a - 6)$

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $a^2 - a - 6$. Найдем два числа, произведение которых равно -6, а сумма -1. Это числа -3 и 2.

Таким образом, $a^2 - a - 6 = (a - 3)(a + 2)$.

Окончательное разложение имеет вид:

$(a^2 + 1)(a - 3)(a + 2)$

Ответ: $(a^2 + 1)(a - 3)(a + 2)$.

847. Пусть $x+y=a$, $xy=b$. Выразить через $a$ и $b$ сумму:

1) $x^2+y^2$;

2) $x^3+y^3$;

3) $x^4+y^4$;

4) $x^5+y^5$.

Дано: $x+y=a$ и $xy=b$.

1) $x^2+y^2$;

Воспользуемся известной формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Из этой формулы можно выразить искомую сумму квадратов:

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$.

Теперь подставим данные в условии значения $x+y=a$ и $xy=b$ в полученное выражение:

$x^2 + y^2 = a^2 - 2b$.

Ответ: $a^2 - 2b$.

2) $x^3+y^3$;

Для нахождения суммы кубов воспользуемся формулой куба суммы: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

Сгруппируем слагаемые следующим образом: $(x+y)^3 = (x^3+y^3) + 3xy(x+y)$.

Выразим из этого равенства сумму кубов $x^3+y^3$:

$x^3+y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$.

Подставим известные значения $x+y=a$ и $xy=b$:

$x^3+y^3 = a^3 - 3b \cdot a = a^3 - 3ab$.

Ответ: $a^3 - 3ab$.

3) $x^4+y^4$;

Представим искомую сумму как сумму квадратов: $x^4+y^4 = (x^2)^2+(y^2)^2$.

Снова применим формулу для суммы квадратов, как в первом пункте: $(x^2)^2+(y^2)^2 = (x^2+y^2)^2 - 2x^2y^2$.

Заметим, что $x^2y^2 = (xy)^2$. Тогда получаем:

$x^4+y^4 = (x^2+y^2)^2 - 2(xy)^2$.

Из решения пункта 1 мы знаем, что $x^2+y^2 = a^2 - 2b$. Подставим это выражение, а также значение $xy=b$:

$x^4+y^4 = (a^2 - 2b)^2 - 2b^2$.

Теперь раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:

$(a^2 - 2b)^2 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 2b + (2b)^2 = a^4 - 4a^2b + 4b^2$.

Подставим это в наше выражение:

$x^4+y^4 = (a^4 - 4a^2b + 4b^2) - 2b^2 = a^4 - 4a^2b + 2b^2$.

Ответ: $a^4 - 4a^2b + 2b^2$.

4) $x^5+y^5$;

Чтобы выразить $x^5+y^5$, рассмотрим произведение выражений, которые мы нашли в пунктах 1 и 2:

$(x^2+y^2)(x^3+y^3) = x^2 \cdot x^3 + x^2 \cdot y^3 + y^2 \cdot x^3 + y^2 \cdot y^3 = x^5 + x^2y^3 + y^2x^3 + y^5$.

Сгруппируем слагаемые: $(x^2+y^2)(x^3+y^3) = (x^5+y^5) + x^2y^2(x+y)$.

Выразим отсюда искомую сумму $x^5+y^5$:

$x^5+y^5 = (x^2+y^2)(x^3+y^3) - x^2y^2(x+y)$.

Это можно переписать как: $x^5+y^5 = (x^2+y^2)(x^3+y^3) - (xy)^2(x+y)$.

Теперь подставим все ранее найденные выражения: $x^2+y^2=a^2-2b$, $x^3+y^3=a^3-3ab$, $xy=b$ и $x+y=a$.

$x^5+y^5 = (a^2-2b)(a^3-3ab) - (b)^2(a)$.

Раскроем скобки в произведении:

$(a^2-2b)(a^3-3ab) = a^2 \cdot a^3 + a^2 \cdot (-3ab) - 2b \cdot a^3 - 2b \cdot (-3ab) = a^5 - 3a^3b - 2a^3b + 6ab^2 = a^5 - 5a^3b + 6ab^2$.

Подставим полученный результат обратно и упростим:

$x^5+y^5 = (a^5 - 5a^3b + 6ab^2) - ab^2 = a^5 - 5a^3b + 5ab^2$.

Ответ: $a^5 - 5a^3b + 5ab^2$.

848. Доказать, что если $x, y, z$ положительны, то равенство $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ является верным только тогда, когда $x = y = z$.

Требуется доказать, что для положительных чисел $x, y, z$ равенство $x^3+y^3+z^3=3xyz$ является верным тогда и только тогда, когда $x=y=z$. Доказательство такого утверждения (эквивалентности) состоит из двух частей.

Сначала докажем, что если $x=y=z$, то равенство выполняется (прямое утверждение или достаточность). Пусть $x=y=z$. Подставим $y=x$ и $z=x$ в исходное равенство:
Левая часть: $x^3 + y^3 + z^3 = x^3 + x^3 + x^3 = 3x^3$.
Правая часть: $3xyz = 3 \cdot x \cdot x \cdot x = 3x^3$.
Так как левая и правая части равны ($3x^3 = 3x^3$), равенство верно.

Теперь докажем обратное утверждение (необходимость): если $x^3+y^3+z^3=3xyz$ и $x,y,z$ положительны, то $x=y=z$. Это можно сделать несколькими способами.

Способ 1: Алгебраические преобразования
Начнем с данного равенства и перенесем все члены в левую часть:
$x^3+y^3+z^3-3xyz=0$
Воспользуемся известной формулой разложения на множители:
$a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$
Применив эту формулу для наших переменных, получим:
$(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
1. Первый множитель $(x+y+z)$. По условию, $x, y, z$ — положительные числа ($x>0, y>0, z>0$). Их сумма также будет строго положительной: $x+y+z > 0$. Таким образом, первый множитель не может быть равен нулю.
2. Следовательно, второй множитель должен быть равен нулю:
$x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx = 0$
Умножим обе части этого равенства на 2, чтобы выделить полные квадраты:
$2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx = 0$
Перегруппируем слагаемые:
$(x^2-2xy+y^2) + (y^2-2yz+z^2) + (z^2-2zx+x^2) = 0$
$(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 = 0$
Сумма квадратов действительных чисел равна нулю только в том случае, если каждое из слагаемых равно нулю. Отсюда следует:
$(x-y)^2=0 \implies x-y=0 \implies x=y$
$(y-z)^2=0 \implies y-z=0 \implies y=z$
Из этих условий следует, что $x=y=z$.

Способ 2: Использование неравенства о средних (неравенство Коши)
Для любых неотрицательных чисел $a, b, c$ справедливо неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом:
$\frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc}$
Равенство в этом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда $a=b=c$.
Применим это неравенство к положительным числам $x^3, y^3, z^3$:
$\frac{x^3+y^3+z^3}{3} \ge \sqrt[3]{x^3 y^3 z^3}$
$\frac{x^3+y^3+z^3}{3} \ge xyz$
$x^3+y^3+z^3 \ge 3xyz$
По условию задачи нам дано равенство $x^3+y^3+z^3 = 3xyz$. Это означает, что в неравенстве Коши достигается случай равенства. Это возможно тогда и только тогда, когда числа, к которым применялось неравенство, равны между собой:
$x^3=y^3=z^3$
Поскольку $x,y,z$ — положительные действительные числа, из равенства их кубов следует равенство самих чисел:
$x=y=z$

Обе части утверждения ("тогда и только тогда") доказаны обоими способами.
Ответ: Утверждение доказано. Равенство $x^3+y^3+z^3=3xyz$ для положительных $x, y, z$ является верным только тогда, когда $x=y=z$.

849. В 13 ч в бассейн начали наливать воду из одной трубы для того, чтобы заполнить его к 16 ч следующего дня. Через некоторое время включили ещё одну такую же трубу, так как потребовалось заполнить бассейн к 12 ч дня. Во сколько часов включили вторую трубу?

Для решения этой задачи пошагово определим все необходимые величины.

1. Вычисление времени заполнения бассейна одной трубой по первоначальному плану.
Воду начали наливать в 13:00 первого дня и планировали закончить в 16:00 следующего дня.
Время работы в первый день: с 13:00 до 24:00, что составляет $24 - 13 = 11$ часов.
Время работы во второй день: с 00:00 до 16:00, что составляет 16 часов.
Общее время, за которое одна труба заполнила бы весь бассейн, равно:
$T_1 = 11 + 16 = 27$ часов.

2. Определение производительности труб.
Примем весь объем бассейна за 1.
Производительность (скорость заполнения) одной трубы ($P_1$) — это часть бассейна, заполняемая за 1 час.
$P_1 = \frac{1}{27}$ (бассейна/час).
Так как вторая труба такая же, ее производительность ($P_2$) также равна $\frac{1}{27}$ бассейна/час.
Когда работают обе трубы, их совместная производительность ($P_{общ}$) равна сумме их производительностей:
$P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{27} + \frac{1}{27} = \frac{2}{27}$ (бассейна/час).

3. Вычисление общего фактического времени заполнения бассейна.
Бассейн начали заполнять в 13:00 первого дня, а закончили в 12:00 следующего дня.
Время работы в первый день: $24 - 13 = 11$ часов.
Время работы во второй день: 12 часов.
Общее фактическое время работы ($T_{факт}$) составило:
$T_{факт} = 11 + 12 = 23$ часа.

4. Составление и решение уравнения.
Пусть $t$ — это время (в часах), в течение которого работали обе трубы вместе.
Тогда в течение $(23 - t)$ часов работала только одна первая труба.
За время $(23 - t)$ часов одна труба заполнила часть бассейна, равную $(23 - t) \times P_1 = (23 - t) \times \frac{1}{27}$.
За время $t$ часов обе трубы вместе заполнили часть бассейна, равную $t \times P_{общ} = t \times \frac{2}{27}$.
Сумма этих частей равна всему объему бассейна (т.е. 1). Составим уравнение:
$(23 - t) \times \frac{1}{27} + t \times \frac{2}{27} = 1$
Умножим обе части уравнения на 27, чтобы избавиться от дробей:
$(23 - t) + 2t = 27$
$23 + t = 27$
$t = 27 - 23$
$t = 4$ часа.
Таким образом, обе трубы работали вместе 4 часа.

5. Определение времени включения второй трубы.
Работа была завершена в 12:00. Последние 4 часа работали обе трубы.
Чтобы найти время включения второй трубы, нужно от времени окончания отнять время совместной работы:
12:00 - 4 часа = 8:00.
Вторая труба была включена в 8:00 утра следующего дня.

Ответ: вторую трубу включили в 8 часов утра.

850. Товарный поезд проехал мимо заводского корпуса длиной 100 м за 20 с, а мимо забора длиной 900 м за 1 мин. Каковы длина поезда и его скорость?

Обозначим длину поезда как $L$ (в метрах) и его скорость как $v$ (в метрах в секунду).

Когда поезд проезжает мимо неподвижного объекта, имеющего длину, общее расстояние, которое проходит поезд для полного проезда, равно сумме его собственной длины и длины объекта.

В первом случае, проезжая мимо заводского корпуса длиной $100$ м за $20$ с, поезд преодолевает расстояние $S_1 = L + 100$ м. Составим первое уравнение, используя формулу пути $S = v \cdot t$:
$L + 100 = v \cdot 20$

Во втором случае, проезжая мимо забора длиной $900$ м за $1$ минуту (что равно $60$ секундам), поезд преодолевает расстояние $S_2 = L + 900$ м. Составим второе уравнение:
$L + 900 = v \cdot 60$

Мы получили систему двух уравнений с двумя неизвестными: $$ \begin{cases} L + 100 = 20v \\ L + 900 = 60v \end{cases} $$ Для решения системы вычтем первое уравнение из второго. Это позволит нам исключить переменную $L$ и найти скорость $v$:
$(L + 900) - (L + 100) = 60v - 20v$
$900 - 100 = 40v$
$800 = 40v$
$v = \frac{800}{40} = 20$ м/с.

Теперь, когда мы знаем скорость поезда, мы можем найти его длину $L$. Для этого подставим значение $v = 20$ в любое из исходных уравнений. Воспользуемся первым:
$L + 100 = 20 \cdot 20$
$L + 100 = 400$
$L = 400 - 100 = 300$ м.

Ответ: длина поезда 300 м, скорость поезда 20 м/с.

851. Из пункта $A$ в пункт $B$ вышел пешеход. Спустя 1 ч 24 мин в том же направлении из $A$ выехал велосипедист, и через час он был на расстоянии 1 км позади пешехода, а ещё через час велосипедисту оставалось до $B$ расстояние, вдвое меньшее, чем пешеходу. Найти скорости пешехода и велосипедиста, если известно, что расстояние $AB$ равно 27 км.

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений.

Пусть $v_п$ — скорость пешехода в км/ч, а $v_в$ — скорость велосипедиста в км/ч.
Расстояние между пунктами A и B равно $S = 27$ км.
Велосипедист выехал позже пешехода на 1 час 24 минуты. Переведем это время в часы:
$1 \text{ ч } 24 \text{ мин} = 1 + \frac{24}{60} \text{ ч} = 1 + \frac{2}{5} \text{ ч} = 1.4 \text{ ч}$.

1. Рассмотрим первую ситуацию: через час после выезда велосипедиста.
К этому моменту велосипедист был в пути 1 час, а пешеход — $1 + 1.4 = 2.4$ часа.
Расстояние, которое проехал велосипедист: $S_в = v_в \cdot 1 = v_в$ км.
Расстояние, которое прошел пешеход: $S_п = v_п \cdot 2.4$ км.
По условию, велосипедист был на 1 км позади пешехода, это означает, что расстояние, пройденное пешеходом, на 1 км больше расстояния, которое проехал велосипедист.
Составим первое уравнение:
$S_п - S_в = 1$
$2.4 v_п - v_в = 1$
Отсюда можно выразить скорость велосипедиста:
$v_в = 2.4 v_п - 1$

2. Рассмотрим вторую ситуацию: еще через час.
Это означает, что с момента выезда велосипедиста прошло 2 часа, а с момента выхода пешехода — $2 + 1.4 = 3.4$ часа.
Расстояние, которое проехал велосипедист к этому моменту: $S_в' = v_в \cdot 2 = 2v_в$ км.
Расстояние, которое прошел пешеход: $S_п' = v_п \cdot 3.4$ км.
Оставшееся расстояние до пункта B для велосипедиста: $R_в = 27 - S_в' = 27 - 2v_в$ км.
Оставшееся расстояние до пункта B для пешехода: $R_п = 27 - S_п' = 27 - 3.4v_п$ км.
По условию, оставшееся расстояние для велосипедиста вдвое меньше, чем для пешехода.
Составим второе уравнение:
$R_в = \frac{1}{2} R_п$
$27 - 2v_в = \frac{1}{2} (27 - 3.4v_п)$

3. Решим систему из двух уравнений.
У нас есть система:
$\begin{cases} v_в = 2.4 v_п - 1 \\ 27 - 2v_в = \frac{1}{2} (27 - 3.4v_п) \end{cases}$
Подставим выражение для $v_в$ из первого уравнения во второе:
$27 - 2(2.4 v_п - 1) = \frac{1}{2} (27 - 3.4v_п)$
Раскроем скобки:
$27 - 4.8 v_п + 2 = 13.5 - 1.7v_п$
$29 - 4.8 v_п = 13.5 - 1.7v_п$
Перенесем слагаемые с $v_п$ в правую часть, а числовые значения — в левую:
$29 - 13.5 = 4.8 v_п - 1.7v_п$
$15.5 = 3.1 v_п$
Теперь найдем скорость пешехода:
$v_п = \frac{15.5}{3.1} = \frac{155}{31} = 5$ км/ч.

Теперь найдем скорость велосипедиста, подставив значение $v_п$ в первое уравнение:
$v_в = 2.4 v_п - 1 = 2.4 \cdot 5 - 1 = 12 - 1 = 11$ км/ч.

Таким образом, скорость пешехода составляет 5 км/ч, а скорость велосипедиста — 11 км/ч.
Ответ: скорость пешехода — 5 км/ч, скорость велосипедиста — 11 км/ч.

852. Из пункта A вышел пешеход, а из пункта B навстречу ему одновременно выехал велосипедист. После их встречи пешеход продолжал идти в B, а велосипедист повернул назад и тоже поехал в B. Известно, что пешеход прибыл в B на 2 ч позже велосипедиста, а скорость пешехода в 3 раза меньше скорости велосипедиста. Сколько времени прошло от начала движения до встречи пешехода и велосипедиста?

Для решения задачи введем следующие обозначения: $v_п$ — скорость пешехода, $v_в$ — скорость велосипедиста, и $t$ — искомое время от начала движения до их встречи. Пусть место их встречи будет точка C.

Согласно условию задачи, скорость пешехода в 3 раза меньше скорости велосипедиста. Обозначим скорость пешехода как $v$, тогда скорость велосипедиста будет равна $3v$.
$v_п = v$
$v_в = 3v$

До момента встречи в точке C, и пешеход, и велосипедист двигались одинаковое время $t$. За это время пешеход, вышедший из пункта А, прошел расстояние $S_{AC}$, а велосипедист, выехавший из пункта B, проехал расстояние $S_{BC}$.
Расстояние, пройденное пешеходом до встречи: $S_{AC} = v_п \cdot t = v \cdot t$.
Расстояние, пройденное велосипедистом до встречи: $S_{BC} = v_в \cdot t = 3v \cdot t$.

После встречи пешеход продолжил свой путь из точки C в пункт B, а велосипедист развернулся и также поехал из точки C в пункт B. Таким образом, им обоим предстояло преодолеть одно и то же расстояние, равное $S_{BC}$.

Рассчитаем время, которое потребовалось каждому из них, чтобы добраться до пункта B из точки C.
Время пешехода на путь из C в B: $t_п = \frac{S_{BC}}{v_п} = \frac{3vt}{v} = 3t$.
Время велосипедиста на путь из C в B: $t_в = \frac{S_{BC}}{v_в} = \frac{3vt}{3v} = t$.

В условии сказано, что пешеход прибыл в B на 2 часа позже велосипедиста. Это означает, что время, затраченное пешеходом на путь после встречи ($t_п$), на 2 часа больше времени, затраченного велосипедистом ($t_в$). На основании этого составим уравнение:
$t_п = t_в + 2$

Теперь подставим в это уравнение полученные ранее выражения для $t_п$ и $t_в$:
$3t = t + 2$

Решим полученное линейное уравнение относительно $t$:
$3t - t = 2$
$2t = 2$
$t = \frac{2}{2} = 1$ (час).

Таким образом, время, прошедшее от начала движения до встречи пешехода и велосипедиста, составляет 1 час.

Ответ: 1 час.