Номер 845, страница 268 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

845. Разложить на множители:

1) $a^3 + 2a^2 - 3;$
2) $a^3 + a^2 + 4;$
3) $a^5 + a + 1;$
4) $a^3 - 6a^2 - a + 30.$

Для разложения многочлена $a^3+2a^2-3$ на множители, найдем один из его корней. По теореме о рациональных корнях, возможные целые корни являются делителями свободного члена $-3$, то есть $ \pm 1, \pm 3 $. Подставим $a=1$: $1^3 + 2 \cdot 1^2 - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$. Следовательно, $a=1$ является корнем многочлена, а $(a-1)$ — одним из его множителей. Чтобы найти второй множитель, можно разделить многочлен $a^3+2a^2-3$ на $(a-1)$ столбиком, или сгруппировать слагаемые: $a^3+2a^2-3 = a^3 - a^2 + 3a^2 - 3 = a^2(a-1) + 3(a^2-1) = a^2(a-1) + 3(a-1)(a+1)$. Вынесем общий множитель $(a-1)$ за скобки: $(a-1)(a^2 + 3(a+1)) = (a-1)(a^2+3a+3)$. Квадратный трехчлен $a^2+3a+3$ не имеет действительных корней, так как его дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9-12 = -3 < 0$. Поэтому дальнейшее разложение на множители с действительными коэффициентами невозможно.
Ответ: $(a-1)(a^2+3a+3)$

Для разложения многочлена $a^3+a^2+4$ на множители, найдем один из его корней. Возможные целые корни — это делители свободного члена $4$, то есть $ \pm 1, \pm 2, \pm 4 $. Подставим $a=-2$: $(-2)^3 + (-2)^2 + 4 = -8 + 4 + 4 = 0$. Значит, $a=-2$ является корнем, а $(a+2)$ — одним из множителей. Разложим многочлен на множители методом группировки, представив некоторые слагаемые в виде суммы или разности: $a^3+a^2+4 = a^3 + 8 + a^2 - 4 = (a^3+2^3) + (a^2-2^2)$. Применим формулы суммы кубов и разности квадратов: $(a+2)(a^2-2a+4) + (a-2)(a+2)$. Вынесем общий множитель $(a+2)$ за скобки: $(a+2)((a^2-2a+4) + (a-2)) = (a+2)(a^2-2a+4+a-2) = (a+2)(a^2-a+2)$. Проверим, можно ли разложить квадратный трехчлен $a^2-a+2$. Его дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 < 0$. Так как дискриминант отрицательный, дальнейшее разложение невозможно.
Ответ: $(a+2)(a^2-a+2)$

Данный многочлен $a^5+a+1$ не имеет целых корней (проверка $a=1$ и $a=-1$ дает $3$ и $-1$ соответственно). Для его разложения применим метод добавления и вычитания слагаемого. Добавим и вычтем $a^2$: $a^5+a+1 = a^5 - a^2 + a^2 + a + 1$. Сгруппируем слагаемые: $(a^5-a^2) + (a^2+a+1) = a^2(a^3-1) + (a^2+a+1)$. Используем формулу разности кубов $a^3-1 = (a-1)(a^2+a+1)$: $a^2(a-1)(a^2+a+1) + (a^2+a+1)$. Вынесем общий множитель $(a^2+a+1)$ за скобки: $(a^2+a+1)(a^2(a-1)+1) = (a^2+a+1)(a^3-a^2+1)$. Множитель $a^2+a+1$ не раскладывается на множители с действительными коэффициентами, так как его дискриминант отрицателен. Множитель $a^3-a^2+1$ не имеет целых корней, что проверяется подстановкой $ \pm 1 $.
Ответ: $(a^2+a+1)(a^3-a^2+1)$

Для разложения многочлена $a^3 - 6a^2 - a + 30$ на множители, найдем один из его целых корней среди делителей свободного члена $30$. Подставим $a=3$: $3^3 - 6 \cdot 3^2 - 3 + 30 = 27 - 54 - 3 + 30 = 0$. Так как $a=3$ является корнем, то $(a-3)$ — один из множителей. Выполним разложение методом группировки: $a^3 - 6a^2 - a + 30 = (a^3 - 3a^2) - 3a^2 - a + 30 = a^2(a-3) - (3a^2 + a - 30)$. Изменим группировку для удобства: $a^3 - 3a^2 - 3a^2 + 9a - 10a + 30 = a^2(a-3) - 3a(a-3) - 10(a-3)$. Вынесем общий множитель $(a-3)$ за скобки: $(a-3)(a^2 - 3a - 10)$. Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $a^2-3a-10$. По теореме Виета, сумма корней равна $3$, а их произведение равно $-10$. Корнями являются числа $5$ и $-2$. Следовательно, $a^2-3a-10 = (a-5)(a-(-2)) = (a-5)(a+2)$. Таким образом, окончательное разложение многочлена: $(a-3)(a-5)(a+2)$.
Ответ: $(a-3)(a-5)(a+2)$