Номер 841, страница 267 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 841, страница 267.

Условие.

841. Доказать, что при любых значениях $x$ и $y$, не равных $0$, значение выражения $x^2 - xy + \frac{2}{7}y^2$ положительно.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Чтобы доказать, что выражение $x^2 - xy + \frac{2}{7}y^2$ положительно при любых не равных нулю значениях $x$ и $y$, преобразуем его методом выделения полного квадрата.

Рассмотрим данное выражение как квадратный трехчлен относительно переменной $x$. Представим член $-xy$ как удвоенное произведение: $-2 \cdot x \cdot \frac{y}{2}$.

$x^2 - xy + \frac{2}{7}y^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{y}{2} + \frac{2}{7}y^2$

Для создания полного квадрата вида $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ нам не хватает слагаемого $(\frac{y}{2})^2 = \frac{y^2}{4}$. Добавим и вычтем это слагаемое:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{y}{2} + (\frac{y}{2})^2 - (\frac{y}{2})^2 + \frac{2}{7}y^2$

Теперь сгруппируем первые три члена, которые образуют полный квадрат, и приведем подобные слагаемые для оставшихся членов:

$(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{y}{2} + \frac{y^2}{4}) + (-\frac{y^2}{4} + \frac{2}{7}y^2) = (x - \frac{y}{2})^2 + y^2(-\frac{1}{4} + \frac{2}{7})$

Вычислим значение в скобках:

$-\frac{1}{4} + \frac{2}{7} = -\frac{7}{28} + \frac{8}{28} = \frac{1}{28}$

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде:

$ (x - \frac{y}{2})^2 + \frac{1}{28}y^2$

Проанализируем полученную сумму. Она состоит из двух слагаемых:

Первое слагаемое, $(x - \frac{y}{2})^2$, является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $(x - \frac{y}{2})^2 \ge 0$ при любых значениях $x$ и $y$.

Второе слагаемое, $\frac{1}{28}y^2$. По условию задачи, $y \ne 0$, следовательно, $y^2 > 0$. Так как $\frac{1}{28}$ — положительное число, то произведение $\frac{1}{28}y^2$ также будет строго положительным: $\frac{1}{28}y^2 > 0$.

Сумма неотрицательного числа (первого слагаемого) и строго положительного числа (второго слагаемого) всегда является строго положительным числом. Следовательно, $(x - \frac{y}{2})^2 + \frac{1}{28}y^2 > 0$.

Это доказывает, что значение выражения $x^2 - xy + \frac{2}{7}y^2$ положительно при любых значениях $x$ и $y$, не равных 0.

Ответ: Утверждение доказано. Выражение $x^2 - xy + \frac{2}{7}y^2$ можно представить в виде суммы $(x - \frac{y}{2})^2 + \frac{1}{28}y^2$. Так как при $y \ne 0$ первое слагаемое неотрицательно, а второе строго положительно, их сумма всегда строго положительна.