Номер 843, страница 268 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

843. Доказать, что равенство $4x^2 + 9y^2 - 4x + 6y + 2 = 0$ является верным только при $x = \frac{1}{2}$, $y = -\frac{1}{3}$.

Для того чтобы доказать, что данное равенство является верным только при указанных значениях переменных, преобразуем его левую часть, применив метод выделения полного квадрата.

Исходное уравнение: $4x^2 + 9y^2 - 4x + 6y + 2 = 0$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и с переменной $y$:
$(4x^2 - 4x) + (9y^2 + 6y) + 2 = 0$

Выделим полный квадрат для выражения с $x$. Для этого воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Выражение $4x^2 - 4x$ можно представить как $(2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 1$. Чтобы получить полный квадрат, необходимо добавить и вычесть $1^2 = 1$:
$4x^2 - 4x = (4x^2 - 4x + 1) - 1 = (2x - 1)^2 - 1$

Аналогично выделим полный квадрат для выражения с $y$, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Выражение $9y^2 + 6y$ можно представить как $(3y)^2 + 2 \cdot (3y) \cdot 1$. Чтобы получить полный квадрат, необходимо добавить и вычесть $1^2 = 1$:
$9y^2 + 6y = (9y^2 + 6y + 1) - 1 = (3y + 1)^2 - 1$

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное уравнение:
$((2x - 1)^2 - 1) + ((3y + 1)^2 - 1) + 2 = 0$

Раскроем скобки и упростим уравнение:
$(2x - 1)^2 - 1 + (3y + 1)^2 - 1 + 2 = 0$
$(2x - 1)^2 + (3y + 1)^2 = 0$

Мы получили уравнение, в левой части которого находится сумма двух квадратов. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(2x - 1)^2 \ge 0$ и $(3y + 1)^2 \ge 0$ для любых значений $x$ и $y$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих слагаемых равно нулю. Следовательно, равенство может выполняться только при одновременном выполнении следующей системы условий:

$ \begin{cases} (2x - 1)^2 = 0 \\ (3y + 1)^2 = 0 \end{cases} $

Решим каждое уравнение системы:
1) $(2x - 1)^2 = 0 \implies 2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$
2) $(3y + 1)^2 = 0 \implies 3y + 1 = 0 \implies 3y = -1 \implies y = -\frac{1}{3}$

Таким образом, мы показали, что исходное равенство $4x^2 + 9y^2 - 4x + 6y + 2 = 0$ выполняется только в том случае, когда $x = \frac{1}{2}$ и $y = -\frac{1}{3}$.

Ответ: Что и требовалось доказать.