Номер 840, страница 267 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

840. Найти все целые числа $n$, при которых дробь $\frac{n^5 + 3}{n^2 + 1}$ является целым числом.

Для того чтобы дробь $\frac{n^5+3}{n^2+1}$ была целым числом, необходимо, чтобы числитель $n^5+3$ делился нацело на знаменатель $n^2+1$, так как $n$ — целое число.

Выполним деление многочлена в числителе на многочлен в знаменателе с остатком. Для этого преобразуем числитель, выделяя в нем множитель, равный знаменателю:

$n^5+3 = n^3(n^2+1) - n^3 + 3 = n^3(n^2+1) - n(n^2+1) + n + 3 = (n^3-n)(n^2+1) + (n+3)$

Теперь исходную дробь можно записать в виде:

$\frac{n^5+3}{n^2+1} = \frac{(n^3-n)(n^2+1) + (n+3)}{n^2+1} = n^3-n + \frac{n+3}{n^2+1}$

Поскольку $n$ — целое число, то $n^3-n$ также является целым числом. Следовательно, исходное выражение является целым тогда и только тогда, когда дробь $\frac{n+3}{n^2+1}$ является целым числом. Обозначим это целое число через $k$:

$k = \frac{n+3}{n^2+1}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим, при каких целых $n$ это возможно. Если модуль числа $n$ достаточно велик, знаменатель $n^2+1$ растет быстрее, чем модуль числителя $|n+3|$. Найдем, при каких $n$ выполняется $|k| < 1$. Это эквивалентно неравенству $|n+3| < n^2+1$.

Неравенство $|n+3| < n^2+1$ равносильно системе $- (n^2+1) < n+3 < n^2+1$.

Левое неравенство, $-n^2-1 < n+3$, преобразуется к $n^2+n+4 > 0$. Дискриминант этого квадратного трехчлена равен $D = 1^2 - 4(1)(4) = -15 < 0$, а старший коэффициент положителен, поэтому это неравенство верно для всех действительных $n$.

Правое неравенство, $n+3 < n^2+1$, преобразуется к $n^2-n-2 > 0$, или $(n-2)(n+1) > 0$. Это неравенство выполняется для целых $n$, если $n \le -2$ или $n \ge 3$.

Таким образом, для всех целых $n \le -2$ или $n \ge 3$, мы имеем $|k| = |\frac{n+3}{n^2+1}| < 1$. Так как $k$ должно быть целым, единственная возможность в этом случае — это $k=0$.

Условие $k=0$ означает, что $\frac{n+3}{n^2+1} = 0$, что влечет за собой $n+3=0$, то есть $n=-3$. Это значение удовлетворяет условию $n \le -2$, поэтому $n=-3$ является решением.

Осталось проверить целые числа, которые не удовлетворяют условиям $n \le -2$ или $n \ge 3$. Такими числами являются $n=-1, 0, 1, 2$. Выполним для них прямую проверку, подставляя в выражение $k = \frac{n+3}{n^2+1}$:

При $n=-1$: $k = \frac{-1+3}{(-1)^2+1} = \frac{2}{2} = 1$. Это целое число.

При $n=0$: $k = \frac{0+3}{0^2+1} = \frac{3}{1} = 3$. Это целое число.

При $n=1$: $k = \frac{1+3}{1^2+1} = \frac{4}{2} = 2$. Это целое число.

При $n=2$: $k = \frac{2+3}{2^2+1} = \frac{5}{5} = 1$. Это целое число.

Все эти значения $n$ также являются решениями.

Объединяя все найденные значения, получаем искомое множество целых чисел.

Ответ: $n \in \{-3, -1, 0, 1, 2\}$.