Номер 833, страница 267 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

833. Доказать, что при любом натуральном n:

1) значение выражения $n^3 + 3n^2 + 5n + 105$ делится на 3;

2) значение выражения $n^3 + 12n^2 + 23n$ делится на 6.

1) Требуется доказать, что при любом натуральном $n$ значение выражения $n^3+3n^2+5n+105$ делится на 3.

Преобразуем данное выражение. Для этого представим $5n$ в виде $6n - n$ и перегруппируем слагаемые:

$n^3+3n^2+5n+105 = n^3+3n^2+6n-n+105 = (n^3 - n) + 3n^2 + 6n + 105$.

Теперь проанализируем каждое слагаемое в полученной сумме на предмет делимости на 3:

Первое слагаемое: $(n^3 - n)$. Разложим его на множители: $n^3 - n = n(n^2 - 1) = (n-1)n(n+1)$. Это произведение трех последовательных натуральных чисел. Среди любых трех последовательных чисел одно всегда делится на 3, а значит, и их произведение делится на 3.

Второе слагаемое: $3n^2$. Оно очевидно делится на 3, так как содержит множитель 3.

Третье слагаемое: $6n$. Оно делится на 3, так как $6n = 3 \cdot 2n$.

Четвертое слагаемое: $105$. Оно делится на 3, так как $105 = 3 \cdot 35$.

Поскольку каждое слагаемое в сумме $(n-1)n(n+1) + 3n^2 + 6n + 105$ делится на 3, то и вся сумма делится на 3. Следовательно, исходное выражение $n^3+3n^2+5n+105$ делится на 3 при любом натуральном $n$.

Ответ: что и требовалось доказать.

2) Требуется доказать, что при любом натуральном $n$ значение выражения $n^3+12n^2+23n$ делится на 6.

Для того чтобы доказать делимость на 6, можно доказать делимость на 2 и на 3 (так как $6 = 2 \cdot 3$, а 2 и 3 — взаимно простые числа). Мы используем метод преобразования выражения, который покажет делимость на 6 напрямую. Представим $23n$ как $24n - n$ и перегруппируем слагаемые:

$n^3+12n^2+23n = n^3+12n^2+24n-n = (n^3 - n) + 12n^2 + 24n$.

Проанализируем каждое слагаемое полученной суммы на предмет делимости на 6:

Первое слагаемое: $(n^3 - n) = (n-1)n(n+1)$. Это произведение трех последовательных натуральных чисел. Среди трех последовательных чисел всегда есть как минимум одно четное (делится на 2) и ровно одно, кратное 3. Следовательно, их произведение всегда делится на $2 \cdot 3 = 6$.

Второе слагаемое: $12n^2$. Оно делится на 6, так как $12n^2 = 6 \cdot 2n^2$.

Третье слагаемое: $24n$. Оно делится на 6, так как $24n = 6 \cdot 4n$.

Так как каждое слагаемое в сумме $(n-1)n(n+1) + 12n^2 + 24n$ делится на 6, то и вся сумма делится на 6. Таким образом, исходное выражение $n^3+12n^2+23n$ делится на 6 при любом натуральном $n$.

Ответ: что и требовалось доказать.