Номер 831, страница 267 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 831, страница 267.

Условие.

831. Доказать, что число $10^{23} + 10^{19} - 182$ делится на 18.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Для того чтобы доказать, что число $10^{23} + 10^{19} - 182$ делится на 18, необходимо доказать, что оно делится одновременно на 2 и на 9, так как $18 = 2 \cdot 9$ и числа 2 и 9 являются взаимно простыми.

1. Доказательство делимости на 2

Число делится на 2, если оно является четным.
Число $10^{23}$ оканчивается на 0, следовательно, оно четное.
Число $10^{19}$ также оканчивается на 0, и оно тоже четное.
Сумма двух четных чисел ($10^{23} + 10^{19}$) является четным числом.
Число 182 является четным.
Разность двух четных чисел ($ (10^{23} + 10^{19}) - 182 $) также является четным числом.
Следовательно, данное число делится на 2.

2. Доказательство делимости на 9

Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Чтобы это проверить, преобразуем исходное выражение:

$10^{23} + 10^{19} - 182 = 10^{23} + 10^{19} - 2 - 180 = (10^{23} - 1) + (10^{19} - 1) - 180$

Теперь рассмотрим каждое слагаемое в полученном выражении:
Первое слагаемое: $10^{23} - 1$. Это число записывается как 23 девятки подряд ($\underbrace{99...9}_{23}$). Сумма цифр этого числа равна $23 \cdot 9$, что, очевидно, делится на 9. Следовательно, число $10^{23} - 1$ делится на 9.
Второе слагаемое: $10^{19} - 1$. Аналогично, это число состоит из 19 девяток ($\underbrace{99...9}_{19}$). Сумма его цифр равна $19 \cdot 9$, что также делится на 9. Следовательно, число $10^{19} - 1$ делится на 9.
Третье слагаемое (вычитаемое): 180. Так как $180 = 9 \cdot 20$, число 180 делится на 9.

Поскольку каждое из трех слагаемых в выражении $(10^{23} - 1) + (10^{19} - 1) - 180$ делится на 9, то и все выражение в целом делится на 9.

Вывод

Мы доказали, что число $10^{23} + 10^{19} - 182$ делится и на 2, и на 9. Так как числа 2 и 9 взаимно простые, то исходное число делится на их произведение, то есть на $2 \cdot 9 = 18$.

Ответ: Что и требовалось доказать.