Номер 826, страница 267 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Для доказательства того, что сумма $333^{777} + 777^{333}$ делится на 37, мы воспользуемся свойствами сравнений по модулю. Задача состоит в том, чтобы показать, что выражение $333^{777} + 777^{333}$ сравнимо с нулём по модулю 37, что записывается как $333^{777} + 777^{333} \equiv 0 \pmod{37}$.

Разберем доказательство по шагам.

1. Анализ первого слагаемого

Рассмотрим первое слагаемое $333^{777}$. Проверим делимость его основания, числа 333, на 37. Заметим, что число 111 является произведением 3 и 37, то есть $111 = 3 \times 37$. Тогда:

$333 = 3 \times 111 = 3 \times (3 \times 37) = 9 \times 37$

Поскольку 333 делится на 37 нацело, его остаток от деления на 37 равен 0. В виде сравнения по модулю это записывается так:

$333 \equiv 0 \pmod{37}$

Согласно свойству сравнений, если два числа сравнимы по модулю, то их одинаковые целые положительные степени также сравнимы по тому же модулю. Возводя обе части сравнения в степень 777, получаем:

$333^{777} \equiv 0^{777} \pmod{37}$, что равносильно $333^{777} \equiv 0 \pmod{37}$.

2. Анализ второго слагаемого

Рассмотрим второе слагаемое $777^{333}$. Аналогично проверим делимость его основания, числа 777, на 37:

$777 = 7 \times 111 = 7 \times (3 \times 37) = 21 \times 37$

Число 777 также делится на 37 нацело. Следовательно:

$777 \equiv 0 \pmod{37}$

Возводя обе части в степень 333, имеем:

$777^{333} \equiv 0^{333} \pmod{37}$, что равносильно $777^{333} \equiv 0 \pmod{37}$.

3. Вывод

Мы установили, что оба слагаемых суммы ($333^{777}$ и $777^{333}$) сравнимы с нулём по модулю 37. Складывая эти два сравнения, получаем:

$333^{777} + 777^{333} \equiv 0 + 0 \pmod{37}$

$333^{777} + 777^{333} \equiv 0 \pmod{37}$

Это означает, что сумма $333^{777} + 777^{333}$ делится на 37 без остатка, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма $333^{777} + 777^{333}$ делится на 37, так как каждое из слагаемых в отдельности делится на 37. Это следует из того, что основания степеней, 333 и 777, оба являются кратными числу 37 ($333 = 9 \times 37$ и $777 = 21 \times 37$).