Номер 832, страница 267 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

832. Доказать, что значение выражения $n^3 + 11n$ делится на 6 при любом натуральном $n$.

Чтобы доказать, что значение выражения $n^3 + 11n$ делится на 6 при любом натуральном $n$, нужно доказать, что оно делится одновременно на 2 и на 3, так как $6 = 2 \times 3$, а числа 2 и 3 являются взаимно простыми.

Для этого преобразуем данное выражение. Представим слагаемое $11n$ в виде разности $12n - n$:

$n^3 + 11n = n^3 + 12n - n$

Теперь перегруппируем члены выражения:

$(n^3 - n) + 12n$

Вынесем общий множитель $n$ из выражения в скобках:

$n(n^2 - 1) + 12n$

Выражение в скобках $n^2 - 1$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(n-1)n(n+1) + 12n$

Полученное выражение состоит из двух слагаемых. Рассмотрим каждое из них по отдельности.

Первое слагаемое, $(n-1)n(n+1)$, является произведением трех последовательных натуральных чисел. В любой тройке последовательных чисел обязательно есть хотя бы одно четное число (которое делится на 2) и ровно одно число, которое делится на 3. Следовательно, произведение этих трех чисел всегда делится на $2 \times 3 = 6$.

Второе слагаемое, $12n$, также всегда делится на 6, так как один из его множителей, 12, кратен 6 ($12 = 6 \times 2$).

Поскольку оба слагаемых, $(n-1)n(n+1)$ и $12n$, делятся на 6, их сумма также будет делиться на 6. Таким образом, мы доказали, что выражение $n^3 + 11n$ делится на 6 при любом натуральном $n$.

Ответ: Утверждение доказано.