Номер 835, страница 267 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

835. Пусть $m$ и $n$ такие натуральные числа, что значение выражения $7m + 5n$ делится на 13. Доказать, что значение выражения $41m + 46n$ также делится на 13.

По условию задачи, выражение $7m + 5n$ делится на 13, где $m$ и $n$ — натуральные числа. Это означает, что существует такое целое число $k$, для которого выполняется равенство:

$7m + 5n = 13k$

Нам необходимо доказать, что выражение $41m + 46n$ также делится на 13.

Преобразуем выражение $41m + 46n$, представив его в виде суммы слагаемых, каждое из которых гарантированно делится на 13. Для этого попытаемся выразить его через известную нам комбинацию $(7m + 5n)$.

Заметим, что мы можем представить $41m + 46n$ следующим образом:

$41m + 46n = (28m + 13m) + (20n + 26n)$

Теперь сгруппируем слагаемые по-другому, чтобы выделить выражение, кратное $(7m + 5n)$:

$41m + 46n = (28m + 20n) + (13m + 26n)$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$41m + 46n = 4(7m + 5n) + 13(m + 2n)$

Теперь проанализируем получившуюся сумму. Она состоит из двух слагаемых:

1. Первое слагаемое: $4(7m + 5n)$. Поскольку по условию $(7m + 5n)$ делится на 13, то и произведение этого выражения на 4, то есть $4(7m + 5n)$, также делится на 13.

2. Второе слагаемое: $13(m + 2n)$. Это выражение содержит множитель 13, следовательно, оно делится на 13 при любых натуральных $m$ и $n$.

Сумма двух чисел, каждое из которых делится на 13, также делится на 13. Так как оба слагаемых в выражении $4(7m + 5n) + 13(m + 2n)$ делятся на 13, то и вся сумма делится на 13.

Следовательно, мы доказали, что выражение $41m + 46n$ делится на 13.

Ответ: Утверждение доказано. Если значение выражения $7m+5n$ делится на 13, то и значение выражения $41m+46n$ также делится на 13.