Номер 829, страница 267 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

829. Доказать, что число $32^{365} + 43^{241}$ делится на 5.

Для того чтобы доказать, что число $32^{365} + 43^{241}$ делится на 5, мы определим последнюю цифру этого числа. Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра 0 или 5. Найдем последнюю цифру каждого слагаемого в сумме.

Последняя цифра числа $32^{365}$
Последняя цифра степени определяется последней цифрой ее основания. У числа 32 последняя цифра — 2. Рассмотрим, как изменяется последняя цифра при возведении 2 в степень:
$2^1$ оканчивается на 2
$2^2$ оканчивается на 4
$2^3$ оканчивается на 8
$2^4$ оканчивается на 6 ($2^4=16$)
$2^5$ оканчивается на 2 ($2^5=32$)
Последние цифры степеней числа 2 повторяются с циклом длиной 4: (2, 4, 8, 6). Чтобы найти последнюю цифру числа $32^{365}$, нужно найти остаток от деления показателя степени 365 на 4.
$365 \div 4 = 91$ с остатком 1.
Поскольку остаток равен 1, последняя цифра числа $32^{365}$ будет такой же, как и первая в цикле, то есть 2.

Последняя цифра числа $43^{241}$
Последняя цифра основания 43 — это 3. Рассмотрим цикл последних цифр для степеней числа 3:
$3^1$ оканчивается на 3
$3^2$ оканчивается на 9
$3^3$ оканчивается на 7 ($3^3=27$)
$3^4$ оканчивается на 1 ($3^4=81$)
$3^5$ оканчивается на 3 ($3^5=243$)
Последние цифры степеней числа 3 также повторяются с циклом длиной 4: (3, 9, 7, 1). Чтобы найти последнюю цифру $43^{241}$, найдем остаток от деления показателя 241 на 4.
$241 \div 4 = 60$ с остатком 1.
Остаток 1 означает, что последняя цифра числа $43^{241}$ будет такой же, как и первая в цикле, то есть 3.

Последняя цифра суммы
Мы выяснили, что число $32^{365}$ оканчивается на 2, а число $43^{241}$ оканчивается на 3. Последняя цифра их суммы будет равна последней цифре суммы их последних цифр:
$2 + 3 = 5$.
Таким образом, число $32^{365} + 43^{241}$ оканчивается на 5.

Поскольку число оканчивается на 5, оно делится на 5 без остатка, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.