Номер 827, страница 267 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 827, страница 267.

Условие.

827. Найти последнюю цифру числа:

1) $2^{187}$;

2) $3^{115}$;

3) $7^{158}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Для нахождения последней цифры числа, возведенного в степень, необходимо исследовать, как меняется последняя цифра при возведении основания в последовательные натуральные степени. Обычно последние цифры повторяются с определенным циклом.

1) $2^{187}$
Найдем закономерность для последних цифр степеней числа 2:
$2^1 = 2$
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$
$2^4 = 16$ (последняя цифра 6)
$2^5 = 32$ (последняя цифра 2)
Мы видим, что последние цифры повторяются с циклом длиной 4: (2, 4, 8, 6).
Чтобы определить последнюю цифру числа $2^{187}$, найдем остаток от деления показателя степени 187 на длину цикла, то есть на 4.
$187 \div 4 = 46$ и остаток 3.
Остаток 3 означает, что последняя цифра числа $2^{187}$ будет такой же, как у третьего числа в цикле, то есть как у $2^3$.
Последняя цифра $2^3$ — это 8.
Ответ: 8

2) $3^{115}$
Найдем закономерность для последних цифр степеней числа 3:
$3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$ (последняя цифра 7)
$3^4 = 81$ (последняя цифра 1)
$3^5 = 243$ (последняя цифра 3)
Последние цифры повторяются с циклом длиной 4: (3, 9, 7, 1).
Чтобы определить последнюю цифру числа $3^{115}$, найдем остаток от деления показателя степени 115 на длину цикла 4.
$115 \div 4 = 28$ и остаток 3.
Остаток 3 означает, что последняя цифра числа $3^{115}$ будет такой же, как у третьего числа в цикле, то есть как у $3^3$.
Последняя цифра $3^3$ — это 7.
Ответ: 7

3) $7^{158}$
Найдем закономерность для последних цифр степеней числа 7:
$7^1 = 7$
$7^2 = 49$ (последняя цифра 9)
$7^3 = 343$ (последняя цифра 3)
$7^4 = 2401$ (последняя цифра 1)
$7^5 = 16807$ (последняя цифра 7)
Последние цифры повторяются с циклом длиной 4: (7, 9, 3, 1).
Чтобы определить последнюю цифру числа $7^{158}$, найдем остаток от деления показателя степени 158 на длину цикла 4.
$158 \div 4 = 39$ и остаток 2.
Остаток 2 означает, что последняя цифра числа $7^{158}$ будет такой же, как у второго числа в цикле, то есть как у $7^2$.
Последняя цифра $7^2$ — это 9.
Ответ: 9