Номер 825, страница 267 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Задачи повышенной трудности - номер 825, страница 267.

Условие.

825. Доказать, что разность $16^{11} - 2^{39}$ делится на 31.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Чтобы доказать, что разность $16^{11} - 2^{39}$ делится на 31, необходимо показать, что это выражение является кратным 31. Для этого преобразуем его.

Сначала приведем оба члена разности к одному основанию. Заметим, что $16$ является степенью числа $2$:

$16 = 2^4$

Подставим это представление в первый член выражения $16^{11}$:

$16^{11} = (2^4)^{11}$

Воспользуемся свойством возведения степени в степень, согласно которому $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(2^4)^{11} = 2^{4 \cdot 11} = 2^{44}$

Теперь исходная разность принимает вид:

$16^{11} - 2^{39} = 2^{44} - 2^{39}$

Мы можем вынести за скобки общий множитель $2^{39}$:

$2^{44} - 2^{39} = 2^{39} \cdot (2^{44-39} - 1) = 2^{39} \cdot (2^5 - 1)$

Вычислим значение выражения в скобках:

$2^5 - 1 = 32 - 1 = 31$

Таким образом, мы преобразовали исходное выражение к следующему виду:

$16^{11} - 2^{39} = 2^{39} \cdot 31$

Полученное произведение $2^{39} \cdot 31$ содержит множитель 31, а значит, оно делится на 31 нацело. Следовательно, исходная разность $16^{11} - 2^{39}$ также делится на 31.

Ответ: Что и требовалось доказать.