Номер 851, страница 268 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

851. Из пункта $A$ в пункт $B$ вышел пешеход. Спустя 1 ч 24 мин в том же направлении из $A$ выехал велосипедист, и через час он был на расстоянии 1 км позади пешехода, а ещё через час велосипедисту оставалось до $B$ расстояние, вдвое меньшее, чем пешеходу. Найти скорости пешехода и велосипедиста, если известно, что расстояние $AB$ равно 27 км.

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений.

Пусть $v_п$ — скорость пешехода в км/ч, а $v_в$ — скорость велосипедиста в км/ч.
Расстояние между пунктами A и B равно $S = 27$ км.
Велосипедист выехал позже пешехода на 1 час 24 минуты. Переведем это время в часы:
$1 \text{ ч } 24 \text{ мин} = 1 + \frac{24}{60} \text{ ч} = 1 + \frac{2}{5} \text{ ч} = 1.4 \text{ ч}$.

1. Рассмотрим первую ситуацию: через час после выезда велосипедиста.
К этому моменту велосипедист был в пути 1 час, а пешеход — $1 + 1.4 = 2.4$ часа.
Расстояние, которое проехал велосипедист: $S_в = v_в \cdot 1 = v_в$ км.
Расстояние, которое прошел пешеход: $S_п = v_п \cdot 2.4$ км.
По условию, велосипедист был на 1 км позади пешехода, это означает, что расстояние, пройденное пешеходом, на 1 км больше расстояния, которое проехал велосипедист.
Составим первое уравнение:
$S_п - S_в = 1$
$2.4 v_п - v_в = 1$
Отсюда можно выразить скорость велосипедиста:
$v_в = 2.4 v_п - 1$

2. Рассмотрим вторую ситуацию: еще через час.
Это означает, что с момента выезда велосипедиста прошло 2 часа, а с момента выхода пешехода — $2 + 1.4 = 3.4$ часа.
Расстояние, которое проехал велосипедист к этому моменту: $S_в' = v_в \cdot 2 = 2v_в$ км.
Расстояние, которое прошел пешеход: $S_п' = v_п \cdot 3.4$ км.
Оставшееся расстояние до пункта B для велосипедиста: $R_в = 27 - S_в' = 27 - 2v_в$ км.
Оставшееся расстояние до пункта B для пешехода: $R_п = 27 - S_п' = 27 - 3.4v_п$ км.
По условию, оставшееся расстояние для велосипедиста вдвое меньше, чем для пешехода.
Составим второе уравнение:
$R_в = \frac{1}{2} R_п$
$27 - 2v_в = \frac{1}{2} (27 - 3.4v_п)$

3. Решим систему из двух уравнений.
У нас есть система:
$\begin{cases} v_в = 2.4 v_п - 1 \\ 27 - 2v_в = \frac{1}{2} (27 - 3.4v_п) \end{cases}$
Подставим выражение для $v_в$ из первого уравнения во второе:
$27 - 2(2.4 v_п - 1) = \frac{1}{2} (27 - 3.4v_п)$
Раскроем скобки:
$27 - 4.8 v_п + 2 = 13.5 - 1.7v_п$
$29 - 4.8 v_п = 13.5 - 1.7v_п$
Перенесем слагаемые с $v_п$ в правую часть, а числовые значения — в левую:
$29 - 13.5 = 4.8 v_п - 1.7v_п$
$15.5 = 3.1 v_п$
Теперь найдем скорость пешехода:
$v_п = \frac{15.5}{3.1} = \frac{155}{31} = 5$ км/ч.

Теперь найдем скорость велосипедиста, подставив значение $v_п$ в первое уравнение:
$v_в = 2.4 v_п - 1 = 2.4 \cdot 5 - 1 = 12 - 1 = 11$ км/ч.

Таким образом, скорость пешехода составляет 5 км/ч, а скорость велосипедиста — 11 км/ч.
Ответ: скорость пешехода — 5 км/ч, скорость велосипедиста — 11 км/ч.