Страница 265 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

818. (Задача Диофанта.) Ослица и мул шли бок о бок с тяжёлой поклажей на спине. Ослица жаловалась на свою непомерно тяжёлую ношу. «Чего ты жалуешься? — ответил ей мул. — Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинакова с моей».

Сколько мешков несла ослица и сколько нёс мул?

Для решения этой задачи необходимо составить систему уравнений. Обозначим количество мешков у ослицы как $x$, а количество мешков у мула как $y$.

Из первого условия, которое говорит мул: «если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей», можно составить первое уравнение. Если мул забирает 1 мешок, у него становится $y+1$ мешков, а у ослицы остаётся $x-1$ мешков. Ноша мула становится вдвое тяжелее:

$y + 1 = 2(x - 1)$

Из второго условия: «А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинакова с моей», составляем второе уравнение. Если ослица забирает 1 мешок, у неё становится $x+1$ мешков, а у мула остаётся $y-1$. Их ноши становятся равны:

$x + 1 = y - 1$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений:

$ \begin{cases} y + 1 = 2(x - 1) \\ x + 1 = y - 1 \end{cases} $

Для решения системы выразим $y$ из второго уравнения:

$y = x + 1 + 1$

$y = x + 2$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы:

$(x + 2) + 1 = 2(x - 1)$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$x + 3 = 2x - 2$

$3 + 2 = 2x - x$

$x = 5$

Мы нашли, что ослица несла 5 мешков. Теперь найдем количество мешков у мула, подставив значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 5 + 2$

$y = 7$

Таким образом, мул нёс 7 мешков.

Проверим найденные значения. Исходные данные: ослица - 5 мешков, мул - 7 мешков.

1. Мул берет 1 мешок у ослицы. У мула становится $7+1=8$, у ослицы $5-1=4$. $8$ ровно в два раза больше $4$. Условие выполнено.

2. Ослица берет 1 мешок у мула. У ослицы становится $5+1=6$, у мула $7-1=6$. Их ноши равны. Условие выполнено.

Ответ: Ослица несла 5 мешков, а мул нёс 7 мешков.

819. (Индийская задача.) Два лица имеют равные капиталы, причём каждый капитал состоит из известного числа вещей одинаковой ценности и известного числа монет. Как число вещей, так и суммы денег у каждого различны. Какова ценность вещи?

Для формализации условия задачи введем следующие переменные:

• Пусть $x$ — искомая ценность (стоимость) одной вещи, выраженная в монетах.
• Пусть $n_1$ — количество вещей, а $m_1$ — количество монет у первого лица.
• Пусть $n_2$ — количество вещей, а $m_2$ — количество монет у второго лица.

Согласно условию, $n_1, m_1, n_2, m_2$ являются известными числами.

Общая стоимость капитала первого лица ($C_1$) складывается из стоимости всех его вещей и количества монет:

$C_1 = n_1 \cdot x + m_1$

Аналогично, общая стоимость капитала второго лица ($C_2$) равна:

$C_2 = n_2 \cdot x + m_2$

По условию задачи, капиталы этих двух лиц равны, то есть $C_1 = C_2$. Следовательно, мы можем составить уравнение:

$n_1 \cdot x + m_1 = n_2 \cdot x + m_2$

Также в условии сказано, что как число вещей, так и количество монет (сумма денег) у каждого различны. Это означает, что:

$n_1 \neq n_2$ и $m_1 \neq m_2$.

Теперь решим полученное уравнение относительно неизвестной переменной $x$, чтобы найти ценность одной вещи.

Сгруппируем члены, содержащие $x$, в одной части уравнения, а свободные члены (количество монет) — в другой:

$n_1 \cdot x - n_2 \cdot x = m_2 - m_1$

Вынесем $x$ за скобки в левой части уравнения:

$x(n_1 - n_2) = m_2 - m_1$

Так как по условию $n_1 \neq n_2$, то разность $(n_1 - n_2)$ не равна нулю. Это позволяет нам разделить обе части уравнения на $(n_1 - n_2)$, чтобы выразить $x$:

$x = \frac{m_2 - m_1}{n_1 - n_2}$

Таким образом, ценность одной вещи равна отношению разности количеств монет к разности количеств вещей. Например, если у первого лица больше вещей, чем у второго ($n_1 > n_2$), то для сохранения равенства капиталов у него должно быть меньше монет ($m_1 < m_2$). В этом случае и числитель ($m_2 - m_1$), и знаменатель ($n_1 - n_2$) будут положительными, и ценность $x$ будет положительной, что логично.

Ответ: Ценность одной вещи определяется как отношение разности капиталов в монетах к разности капиталов в вещах. Если $n_1$ и $m_1$ — количество вещей и монет у первого лица, а $n_2$ и $m_2$ — у второго, то ценность вещи $x$ находится по формуле: $x = \frac{m_2 - m_1}{n_1 - n_2}$.

820. (Задача Авиценны.) Доказать, что если число, будучи разделено на 9, даёт в остатке 1 или 8, то квадрат этого числа, делённый на 9, даёт в остатке 1.

Для доказательства этого утверждения необходимо рассмотреть два случая, описанные в условии задачи. Пусть $N$ — данное число.

Случай 1: Число при делении на 9 дает в остатке 1

Если число $N$ при делении на 9 дает в остатке 1, то его можно представить в виде: $N = 9k + 1$, где $k$ — некоторое целое число (неполное частное).

Теперь найдем квадрат этого числа, $N^2$. Используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, получаем: $N^2 = (9k + 1)^2 = (9k)^2 + 2 \cdot 9k \cdot 1 + 1^2 = 81k^2 + 18k + 1$.

Чтобы найти остаток от деления $N^2$ на 9, преобразуем полученное выражение, вынеся общий множитель 9 за скобки: $N^2 = 9 \cdot (9k^2) + 9 \cdot (2k) + 1 = 9(9k^2 + 2k) + 1$.

Обозначим выражение в скобках как $m = 9k^2 + 2k$. Поскольку $k$ является целым числом, то $m$ также будет целым числом. Тогда выражение для $N^2$ принимает вид: $N^2 = 9m + 1$.

Эта запись по определению деления с остатком означает, что при делении $N^2$ на 9 получается частное $m$ и остаток 1.

Ответ: если число при делении на 9 дает в остатке 1, то его квадрат при делении на 9 дает в остатке 1.

Случай 2: Число при делении на 9 дает в остатке 8

Если число $N$ при делении на 9 дает в остатке 8, то его можно представить в виде: $N = 9k + 8$, где $k$ — некоторое целое число.

Возведем это число в квадрат: $N^2 = (9k + 8)^2 = (9k)^2 + 2 \cdot 9k \cdot 8 + 8^2 = 81k^2 + 144k + 64$.

Чтобы найти остаток от деления $N^2$ на 9, преобразуем это выражение. Первые два слагаемых, $81k^2$ и $144k$, очевидно делятся на 9 (так как $81 = 9 \cdot 9$ и $144 = 9 \cdot 16$). Рассмотрим третье слагаемое, 64, и найдем его остаток от деления на 9: $64 = 63 + 1 = 9 \cdot 7 + 1$.

Подставим это в выражение для $N^2$: $N^2 = 81k^2 + 144k + (9 \cdot 7 + 1)$.

Теперь вынесем общий множитель 9 за скобки для всех слагаемых, которые на него делятся: $N^2 = 9 \cdot (9k^2) + 9 \cdot (16k) + 9 \cdot 7 + 1 = 9(9k^2 + 16k + 7) + 1$.

Обозначим выражение в скобках как $p = 9k^2 + 16k + 7$. Так как $k$ — целое число, $p$ также будет целым числом. Тогда мы получаем: $N^2 = 9p + 1$.

Эта запись означает, что при делении $N^2$ на 9 получается частное $p$ и остаток 1.

Ответ: если число при делении на 9 дает в остатке 8, то его квадрат при делении на 9 дает в остатке 1.

Таким образом, мы рассмотрели оба возможных случая и в каждом из них доказали, что квадрат числа при делении на 9 дает в остатке 1. Утверждение доказано.

821. (Задача из «Азбуки» Л. Н. Толстого.) Пять братьев разделили после отца наследство поровну. В наследстве было три дома. Три дома нельзя было делить, их взяли старшие три брата. А меньшим за то выделили деньги. Каждый из старших заплатил по 800 рублей меньшим, и тогда у всех пяти братьев денег стало поровну. Много ли стоили дома?

Для решения этой задачи давайте обозначим общую стоимость трех домов переменной $C$.

По условию, наследство было разделено поровну между пятью братьями. Следовательно, справедливая доля каждого брата составляет одну пятую от общей стоимости наследства:
Доля одного брата = $\frac{C}{5}$.

Два младших брата не получили домов, а вместо этого им выделили деньги. Таким образом, вся их доля наследства была в денежной форме. Суммарная стоимость доли двух младших братьев составляет:
$2 \times \frac{C}{5} = \frac{2C}{5}$.

Эти деньги младшие братья получили от трех старших братьев. Каждый из трех старших заплатил по 800 рублей. Общая сумма, переданная младшим братьям, равна:
$3 \times 800 = 2400$ рублей.

Так как 2400 рублей — это полная денежная компенсация для двух младших братьев, эта сумма равна общей стоимости их долей в наследстве. Мы можем составить уравнение:
$\frac{2C}{5} = 2400$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти общую стоимость домов $C$:
1. Умножим обе части уравнения на 5:
$2C = 2400 \times 5$
$2C = 12000$
2. Разделим обе части на 2:
$C = \frac{12000}{2}$
$C = 6000$

Таким образом, общая стоимость трех домов составляет 6000 рублей.

Давайте проверим результат.
Общая стоимость наследства — 6000 рублей.
Доля каждого из пяти братьев — $6000 / 5 = 1200$ рублей.
Два младших брата получили $3 \times 800 = 2400$ рублей, то есть по $2400 / 2 = 1200$ рублей каждый. Это соответствует их доле.
Каждый из трех старших братьев получил дом. После того как он заплатил 800 рублей, его доля стала равной 1200 рублям. Это означает, что стоимость каждого дома была $1200 + 800 = 2000$ рублей.
Общая стоимость трех домов: $3 \times 2000 = 6000$ рублей. Все расчеты сходятся.

Ответ: Три дома стоили 6000 рублей.

Старинные русские задачи (822—824.)

822. Мне теперь вдвое больше лет, чем было вам тогда, когда мне было столько лет, сколько вам теперь; а когда вам будет столько лет, сколько мне теперь, то нам будет обоим вместе 63 года. Сколько лет каждому?

822.

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $m$ — это мой нынешний возраст, а $y$ — ваш нынешний возраст. Разберем условия задачи и составим систему уравнений.

1. Анализ первого условия: «Мне теперь вдвое больше лет, чем было вам тогда, когда мне было столько лет, сколько вам теперь».

Момент в прошлом («тогда»), о котором идет речь, — это когда мой возраст был равен вашему нынешнему возрасту, то есть мне было $y$ лет. Разница во времени между «сейчас» и «тогда» составляет $(m - y)$ лет. В тот момент ваш возраст составлял $y - (m - y) = 2y - m$ лет. Согласно условию, мой нынешний возраст ($m$) вдвое больше вашего тогдашнего возраста ($2y - m$). Запишем это в виде первого уравнения:
$m = 2 \cdot (2y - m)$
$m = 4y - 2m$
$3m = 4y$

2. Анализ второго условия: «...а когда вам будет столько лет, сколько мне теперь, то нам будет обоим вместе 63 года».

Момент в будущем наступит, когда ваш возраст станет равен моему нынешнему возрасту, то есть вам будет $m$ лет. Это произойдет через $(m - y)$ лет (так как разница в возрасте постоянна). В этот момент мой возраст будет равен $m + (m - y) = 2m - y$ лет. Сумма наших возрастов в будущем составит 63 года. Запишем второе уравнение:
$(2m - y) + m = 63$
$3m - y = 63$

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух линейных уравнений:
1) $3m = 4y$
2) $3m - y = 63$

Для решения системы подставим выражение для $3m$ из первого уравнения во второе:
$4y - y = 63$
$3y = 63$
$y = \frac{63}{3}$
$y = 21$

Мы нашли ваш возраст: 21 год. Теперь найдем мой возраст, подставив значение $y$ в первое уравнение:
$3m = 4 \cdot 21$
$3m = 84$
$m = \frac{84}{3}$
$m = 28$

Таким образом, мне сейчас 28 лет, а вам 21 год.

Ответ: одному человеку 28 лет, другому 21 год.