Страница 270 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

860. На соревнованиях по спортивной ходьбе первый спортсмен прошёл четверть всей дистанции со скоростью 12 км/ч, а остальную часть со скоростью 8 км/ч. Второй спортсмен прошёл половину дистанции со скоростью 10 км/ч, а остальную часть со скоростью 9 км/ч. Кто из них был первым на финише?

Для того чтобы определить, кто из спортсменов пришел на финиш первым, нам нужно рассчитать и сравнить общее время, которое каждый из них затратил на прохождение всей дистанции. Победителем будет тот, чье время окажется меньше.

Обозначим всю дистанцию как $S$ км. Время ($t$) находится по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ - расстояние, а $v$ - скорость.

Расчет времени для первого спортсмена

Первый спортсмен прошел дистанцию в два этапа:

1. Первую четверть дистанции, то есть $\frac{1}{4}S$ км, он прошел со скоростью $12$ км/ч. Время, затраченное на этот участок: $t_{1a} = \frac{S/4}{12} = \frac{S}{4 \cdot 12} = \frac{S}{48}$ ч.

2. Оставшуюся часть дистанции, то есть $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ всей дистанции или $\frac{3}{4}S$ км, он прошел со скоростью $8$ км/ч. Время, затраченное на этот участок: $t_{1b} = \frac{3S/4}{8} = \frac{3S}{4 \cdot 8} = \frac{3S}{32}$ ч.

Общее время первого спортсмена $T_1$ равно сумме времени на двух участках: $T_1 = t_{1a} + t_{1b} = \frac{S}{48} + \frac{3S}{32}$. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 48 и 32 это 96. $T_1 = \frac{2S}{96} + \frac{9S}{96} = \frac{11S}{96}$ ч.

Расчет времени для второго спортсмена

Второй спортсмен также прошел дистанцию в два этапа:

1. Первую половину дистанции, то есть $\frac{1}{2}S$ км, он прошел со скоростью $10$ км/ч. Время, затраченное на этот участок: $t_{2a} = \frac{S/2}{10} = \frac{S}{2 \cdot 10} = \frac{S}{20}$ ч.

2. Оставшуюся половину дистанции, то есть $\frac{1}{2}S$ км, он прошел со скоростью $9$ км/ч. Время, затраченное на этот участок: $t_{2b} = \frac{S/2}{9} = \frac{S}{2 \cdot 9} = \frac{S}{18}$ ч.

Общее время второго спортсмена $T_2$ равно сумме времени на двух участках: $T_2 = t_{2a} + t_{2b} = \frac{S}{20} + \frac{S}{18}$. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 20 и 18 это 180. $T_2 = \frac{9S}{180} + \frac{10S}{180} = \frac{19S}{180}$ ч.

Сравнение времени спортсменов

Теперь сравним общее время первого и второго спортсменов: $T_1 = \frac{11S}{96}$ и $T_2 = \frac{19S}{180}$. Чтобы сравнить эти значения, нам нужно сравнить дроби $\frac{11}{96}$ и $\frac{19}{180}$. Для этого можно привести их к общему знаменателю или использовать перекрестное умножение.

Сравним произведения числителя одной дроби на знаменатель другой: $11 \cdot 180$ и $19 \cdot 96$.

$11 \cdot 180 = 1980$

$19 \cdot 96 = 19 \cdot (100 - 4) = 1900 - 76 = 1824$

Так как $1980 > 1824$, то и $\frac{11}{96} > \frac{19}{180}$. Следовательно, $T_1 > T_2$.

Это означает, что время, затраченное первым спортсменом, больше, чем время, затраченное вторым. Значит, второй спортсмен пришел на финиш раньше.

Ответ: Второй спортсмен был первым на финише.

861. Два пешехода прошли одинаковый путь. Первый половину всего пути шёл со скоростью 5 км/ч, а остающаяся часть пути — со скоростью 3 км/ч. Второй пешеход половину всего затраченного времени шёл со скоростью 5 км/ч, а остальное время — со скоростью 3 км/ч. Кто из них быстрее прошёл весь путь?

Для решения задачи сравним общее время, которое затратил каждый пешеход на прохождение всего пути. Обозначим весь одинаковый для обоих пешеходов путь как $S$. Тот, кто затратил меньше времени, и будет тем, кто прошел путь быстрее.

Расчет времени для первого пешехода

Первый пешеход прошел первую половину пути ($S/2$) со скоростью $v_1 = 5$ км/ч. Время, затраченное на этот участок, вычисляется по формуле $t = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}}$:

$t_{1a} = \frac{S/2}{v_1} = \frac{S}{2 \cdot 5} = \frac{S}{10}$ часов.

Вторую половину пути ($S/2$) он шел со скоростью $v_2 = 3$ км/ч. Время, затраченное на этот участок:

$t_{1b} = \frac{S/2}{v_2} = \frac{S}{2 \cdot 3} = \frac{S}{6}$ часов.

Общее время $T_1$, затраченное первым пешеходом на весь путь, равно сумме времени, потраченного на каждый участок:

$T_1 = t_{1a} + t_{1b} = \frac{S}{10} + \frac{S}{6}$

Приводим дроби к общему знаменателю 30:

$T_1 = S \left( \frac{3}{30} + \frac{5}{30} \right) = S \left( \frac{8}{30} \right) = \frac{4S}{15}$ часов.

Расчет времени для второго пешехода

Второй пешеход половину всего затраченного времени шел со скоростью $v_1 = 5$ км/ч, а вторую половину времени — со скоростью $v_2 = 3$ км/ч. Обозначим общее время в пути для второго пешехода как $T_2$.

За первую половину времени ($T_2/2$) он прошел расстояние $S_a = v_1 \cdot \frac{T_2}{2} = 5 \frac{T_2}{2}$.

За вторую половину времени ($T_2/2$) он прошел расстояние $S_b = v_2 \cdot \frac{T_2}{2} = 3 \frac{T_2}{2}$.

Весь путь $S$ равен сумме этих двух расстояний:

$S = S_a + S_b = 5 \frac{T_2}{2} + 3 \frac{T_2}{2} = \frac{T_2}{2} (5+3) = \frac{8T_2}{2} = 4T_2$.

Из этого соотношения выразим общее время $T_2$ через путь $S$:

$T_2 = \frac{S}{4}$ часов.

Сравнение и вывод

Теперь сравним общее время, затраченное первым и вторым пешеходами:

Время первого пешехода: $T_1 = \frac{4S}{15}$.

Время второго пешехода: $T_2 = \frac{S}{4}$.

Чтобы сравнить эти два значения, нужно сравнить коэффициенты при $S$, то есть дроби $\frac{4}{15}$ и $\frac{1}{4}$. Приведем их к общему знаменателю 60:

$\frac{4}{15} = \frac{4 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{16}{60}$

$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 15}{4 \cdot 15} = \frac{15}{60}$

Поскольку $\frac{16}{60} > \frac{15}{60}$, то и $T_1 > T_2$.

Это означает, что первый пешеход затратил на весь путь больше времени, чем второй. Следовательно, второй пешеход двигался быстрее.

Ответ: Второй пешеход прошёл весь путь быстрее.