Номер 860, страница 270 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

860. На соревнованиях по спортивной ходьбе первый спортсмен прошёл четверть всей дистанции со скоростью 12 км/ч, а остальную часть со скоростью 8 км/ч. Второй спортсмен прошёл половину дистанции со скоростью 10 км/ч, а остальную часть со скоростью 9 км/ч. Кто из них был первым на финише?

Для того чтобы определить, кто из спортсменов пришел на финиш первым, нам нужно рассчитать и сравнить общее время, которое каждый из них затратил на прохождение всей дистанции. Победителем будет тот, чье время окажется меньше.

Обозначим всю дистанцию как $S$ км. Время ($t$) находится по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ - расстояние, а $v$ - скорость.

Расчет времени для первого спортсмена

Первый спортсмен прошел дистанцию в два этапа:

1. Первую четверть дистанции, то есть $\frac{1}{4}S$ км, он прошел со скоростью $12$ км/ч. Время, затраченное на этот участок: $t_{1a} = \frac{S/4}{12} = \frac{S}{4 \cdot 12} = \frac{S}{48}$ ч.

2. Оставшуюся часть дистанции, то есть $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ всей дистанции или $\frac{3}{4}S$ км, он прошел со скоростью $8$ км/ч. Время, затраченное на этот участок: $t_{1b} = \frac{3S/4}{8} = \frac{3S}{4 \cdot 8} = \frac{3S}{32}$ ч.

Общее время первого спортсмена $T_1$ равно сумме времени на двух участках: $T_1 = t_{1a} + t_{1b} = \frac{S}{48} + \frac{3S}{32}$. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 48 и 32 это 96. $T_1 = \frac{2S}{96} + \frac{9S}{96} = \frac{11S}{96}$ ч.

Расчет времени для второго спортсмена

Второй спортсмен также прошел дистанцию в два этапа:

1. Первую половину дистанции, то есть $\frac{1}{2}S$ км, он прошел со скоростью $10$ км/ч. Время, затраченное на этот участок: $t_{2a} = \frac{S/2}{10} = \frac{S}{2 \cdot 10} = \frac{S}{20}$ ч.

2. Оставшуюся половину дистанции, то есть $\frac{1}{2}S$ км, он прошел со скоростью $9$ км/ч. Время, затраченное на этот участок: $t_{2b} = \frac{S/2}{9} = \frac{S}{2 \cdot 9} = \frac{S}{18}$ ч.

Общее время второго спортсмена $T_2$ равно сумме времени на двух участках: $T_2 = t_{2a} + t_{2b} = \frac{S}{20} + \frac{S}{18}$. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 20 и 18 это 180. $T_2 = \frac{9S}{180} + \frac{10S}{180} = \frac{19S}{180}$ ч.

Сравнение времени спортсменов

Теперь сравним общее время первого и второго спортсменов: $T_1 = \frac{11S}{96}$ и $T_2 = \frac{19S}{180}$. Чтобы сравнить эти значения, нам нужно сравнить дроби $\frac{11}{96}$ и $\frac{19}{180}$. Для этого можно привести их к общему знаменателю или использовать перекрестное умножение.

Сравним произведения числителя одной дроби на знаменатель другой: $11 \cdot 180$ и $19 \cdot 96$.

$11 \cdot 180 = 1980$

$19 \cdot 96 = 19 \cdot (100 - 4) = 1900 - 76 = 1824$

Так как $1980 > 1824$, то и $\frac{11}{96} > \frac{19}{180}$. Следовательно, $T_1 > T_2$.

Это означает, что время, затраченное первым спортсменом, больше, чем время, затраченное вторым. Значит, второй спортсмен пришел на финиш раньше.

Ответ: Второй спортсмен был первым на финише.