Номер 859, страница 269 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

859. На соревнованиях два велосипедиста стартовали одновременно. Первый ехал всю дистанцию с постоянной скоростью. Второй первую половину дистанции ехал в полтора раза быстрее, а вторую — в два раза медленнее первого. Кто из них выиграл гонку?

Чтобы определить победителя гонки, необходимо сравнить общее время, затраченное каждым велосипедистом на прохождение всей дистанции. Тот, кто потратил меньше времени, выиграл.

Давайте введем обозначения:
$S$ — полная дистанция гонки.
$v$ — постоянная скорость первого велосипедиста.

Время, за которое первый велосипедист проехал всю дистанцию ($t_1$), вычисляется по формуле:
$t_1 = \frac{S}{v}$

Теперь рассчитаем время второго велосипедиста ($t_2$). Его путь состоит из двух равных частей по $\frac{S}{2}$ каждая.

Первая половина дистанции:
Длина участка: $\frac{S}{2}$.
Скорость второго велосипедиста ($v_{2a}$) была в полтора раза (в 1,5 раза) быстрее скорости первого:
$v_{2a} = 1.5 \cdot v = \frac{3}{2}v$
Время на этом участке ($t_{2a}$):
$t_{2a} = \frac{S/2}{v_{2a}} = \frac{S/2}{(3/2)v} = \frac{S}{2} \cdot \frac{2}{3v} = \frac{S}{3v}$

Вторая половина дистанции:
Длина участка: $\frac{S}{2}$.
Скорость второго велосипедиста ($v_{2b}$) была в два раза медленнее скорости первого:
$v_{2b} = \frac{v}{2}$
Время на этом участке ($t_{2b}$):
$t_{2b} = \frac{S/2}{v_{2b}} = \frac{S/2}{v/2} = \frac{S}{2} \cdot \frac{2}{v} = \frac{S}{v}$

Общее время второго велосипедиста — это сумма времени, затраченного на оба участка:
$t_2 = t_{2a} + t_{2b} = \frac{S}{3v} + \frac{S}{v}$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$t_2 = \frac{S}{3v} + \frac{3S}{3v} = \frac{S + 3S}{3v} = \frac{4S}{3v}$

Теперь сравним время первого ($t_1$) и второго ($t_2$) велосипедистов:
$t_1 = \frac{S}{v}$
$t_2 = \frac{4}{3} \cdot \frac{S}{v}$
Мы видим, что $t_2 = \frac{4}{3}t_1$.

Поскольку коэффициент $\frac{4}{3}$ больше единицы, время второго велосипедиста ($t_2$) больше времени первого ($t_1$). Это означает, что первый велосипедист приехал на финиш раньше.
Интересно отметить, что время, которое второй велосипедист затратил только на вторую, медленную половину пути ($t_{2b} = \frac{S}{v}$), уже равно всему времени, которое потратил на гонку первый велосипедист.

Ответ: гонку выиграл первый велосипедист.