Страница 269 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

853. Пловец плывёт против течения реки и встречает плывущую по течению реки пустую лодку. Продолжая плыть против течения ещё $t$ секунд после момента встречи, он затем поворачивает назад и догоняет лодку в $s$ метрах от места встречи. Найти скорость течения реки.

Эту задачу можно решить двумя способами: используя систему отсчета, связанную с берегом, или систему отсчета, связанную с водой. Второй способ значительно проще, но для полноты решения приведем оба.

Введем обозначения:
$v_п$ — собственная скорость пловца (его скорость относительно воды).
$v_т$ — скорость течения реки.
$t$ — время в секундах, которое пловец плыл против течения после встречи с лодкой.
$s$ — расстояние в метрах от места встречи, на котором пловец догнал лодку.

Направим ось координат по течению реки. За начало отсчета ($x=0$) примем точку, где пловец и лодка встретились, и пусть это произошло в момент времени $\tau=0$.

1. Движение лодки. Пустая лодка движется со скоростью течения реки $v_т$. Ее координата в любой момент времени $\tau$ будет $x_л(\tau) = v_т \cdot \tau$.

2. Движение пловца.
а) С момента встречи ($\tau=0$) до момента поворота ($\tau=t$) пловец плывет против течения. Его скорость относительно берега равна $v_п - v_т$, но так как он движется против выбранной оси, его скорость в проекции на эту ось будет $v_{п1} = -(v_п - v_т) = v_т - v_п$. За время $t$ он достигнет координаты $x_1 = (v_т - v_п) \cdot t$.
б) В момент времени $\tau=t$ пловец поворачивает и плывет по течению. Его скорость относительно берега теперь равна $v_{п2} = v_п + v_т$. Пусть он догонял лодку в течение времени $t_{дог}$. Тогда вторая встреча произойдет в момент времени $T = t + t_{дог}$. Координата пловца в этот момент будет:
$x_п(T) = x_1 + v_{п2} \cdot t_{дог} = (v_т - v_п) \cdot t + (v_п + v_т) \cdot t_{дог}$.

3. Условие второй встречи. В момент времени $T$ пловец догнал лодку. Это означает, что их координаты равны и, по условию задачи, равны $s$.
Для лодки: $s = x_л(T) = v_т \cdot T = v_т \cdot (t + t_{дог})$.
Для пловца: $s = x_п(T) = (v_т - v_п) \cdot t + (v_п + v_т) \cdot t_{дог}$.

4. Решение системы уравнений.
Из уравнения для лодки выразим время погони $t_{дог}$:
$t + t_{дог} = \frac{s}{v_т} \implies t_{дог} = \frac{s}{v_т} - t$.
Подставим это выражение в уравнение для пловца:
$s = (v_т - v_п) \cdot t + (v_п + v_т) \cdot \left(\frac{s}{v_т} - t\right)$.
Раскроем скобки:
$s = v_т t - v_п t + (v_п + v_т) \frac{s}{v_т} - (v_п + v_т) t$
$s = v_т t - v_п t + \frac{v_п s}{v_т} + \frac{v_т s}{v_т} - v_п t - v_т t$
Упростим выражение, сократив $v_т t$ и $-v_т t$, а также $\frac{v_т s}{v_т} = s$:
$s = -2 v_п t + \frac{v_п s}{v_т} + s$
Вычтем $s$ из обеих частей:
$0 = -2 v_п t + \frac{v_п s}{v_т}$
Перенесем одно из слагаемых в другую часть:
$2 v_п t = \frac{v_п s}{v_т}$
Поскольку собственная скорость пловца $v_п \ne 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $v_п$:
$2t = \frac{s}{v_т}$
Отсюда выражаем искомую скорость течения $v_т$:
$v_т = \frac{s}{2t}$.

Этот способ намного элегантнее, так как он использует ключевую особенность задачи.

1. Выбор системы отсчета. Перейдем в систему отсчета, которая движется вместе с водой. В этой системе отсчета вода неподвижна.

2. Движение объектов в новой системе.
а) Лодка: Поскольку пустая лодка просто плывет по течению, в системе отсчета, связанной с водой, она будет неподвижна.
б) Пловец: Пловец движется относительно воды со своей собственной скоростью $v_п$.

3. Анализ событий.
а) В момент первой встречи пловец и лодка находятся в одной точке.
б) Затем пловец в течение времени $t$ плывет "против течения". В нашей системе отсчета это означает, что он просто удаляется от неподвижной лодки со скоростью $v_п$.
в) После этого он поворачивает и плывет обратно к лодке. Чтобы вернуться к ней, ему нужно преодолеть то же расстояние, на которое он отдалился. Поскольку его скорость относительно воды осталась прежней ($v_п$), время на обратный путь будет в точности таким же, как и время удаления, то есть $t$.

4. Общее время. Общее время между первой и второй встречей составляет время движения от лодки и время движения к лодке:
$T_{общее} = t + t = 2t$.

5. Возвращение в исходную систему отсчета. Время $T_{общее}$ не зависит от выбора системы отсчета. Вернемся в систему отсчета, связанную с берегом. За все это время $T_{общее} = 2t$ лодка плыла по течению со скоростью $v_т$ и, по условию, прошла расстояние $s$.

6. Нахождение скорости течения. Свяжем расстояние, скорость и время для лодки:
$s = v_т \cdot T_{общее}$
Подставим найденное общее время:
$s = v_т \cdot (2t)$
Из этого уравнения легко найти скорость течения:
$v_т = \frac{s}{2t}$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Скорость течения реки не зависит от собственной скорости пловца.

Ответ: Скорость течения реки равна $v_т = \frac{s}{2t}$.

854. В колбе имеется раствор поваренной соли. Из колбы в пробирку отливают пятую часть раствора и выпаривают до тех пор, пока процентное содержание соли в пробирке не повысится вдвое. После этого выпаренный раствор выливают обратно в колбу. В результате содержание соли в колбе повышается на 3 %. Определить исходное процентное содержание соли.

Для решения задачи введем переменные. Пусть начальная масса раствора в колбе равна $M$, а начальное процентное содержание соли – $p\%$. Тогда концентрация соли, выраженная в долях, равна $x = \frac{p}{100}$, а масса соли в исходном растворе составляет $m_{соли} = M \cdot x$.

Из колбы в пробирку отливают пятую часть раствора, масса которой равна $\frac{1}{5}M$. Масса соли в этой части раствора составляет $\frac{1}{5}Mx$. После этого в колбе остается $\frac{4}{5}M$ раствора, в котором содержится $\frac{4}{5}Mx$ соли.

Далее раствор в пробирке выпаривают. В процессе выпаривания удаляется только вода, а масса соли, равная $\frac{1}{5}Mx$, остается неизменной. По условию, концентрация соли в пробирке удваивается и становится равной $2x$. Новую массу раствора в пробирке, $M_{проб, нов}$, можно найти из определения концентрации: $2x = \frac{\text{масса соли}}{\text{масса раствора}} = \frac{\frac{1}{5}Mx}{M_{проб, нов}}$. Отсюда следует, что новая масса раствора в пробирке равна $M_{проб, нов} = \frac{\frac{1}{5}Mx}{2x} = \frac{1}{10}M$.

Затем выпаренный раствор из пробирки выливают обратно в колбу. Общая масса соли в колбе становится равной сумме масс соли в обеих частях, то есть возвращается к исходному значению: $m_{соли, фин} = \frac{4}{5}Mx + \frac{1}{5}Mx = Mx$. Общая масса раствора в колбе складывается из массы оставшегося в колбе раствора и массы выпаренного раствора из пробирки: $M_{фин} = \frac{4}{5}M + \frac{1}{10}M = \frac{8}{10}M + \frac{1}{10}M = \frac{9}{10}M$.

Новая, финальная концентрация соли в колбе, $x_{фин}$, равна отношению финальной массы соли к финальной массе раствора: $x_{фин} = \frac{m_{соли, фин}}{M_{фин}} = \frac{Mx}{\frac{9}{10}M} = \frac{10}{9}x$.

По условию задачи, содержание соли в колбе повысилось на 3%. Это означает, что новое процентное содержание $p_{фин}$ на 3 единицы больше исходного $p$: $p_{фин} = p + 3$. Связь между процентным содержанием и концентрацией в долях выражается формулой $p = 100x$. Следовательно, $p_{фин} = 100x_{фин} = 100 \cdot \frac{10}{9}x = \frac{10}{9} \cdot (100x) = \frac{10}{9}p$.

Приравниваем два выражения для $p_{фин}$ и получаем уравнение: $p + 3 = \frac{10}{9}p$. Решим это уравнение относительно $p$: $3 = \frac{10}{9}p - p$ $3 = \frac{10p - 9p}{9}$ $3 = \frac{1}{9}p$ $p = 3 \cdot 9 = 27$.

Следовательно, исходное процентное содержание соли в растворе составляло 27%.

Ответ: 27%.

855. Дорога из пункта А в пункт В длиной $11,5 \text{ км}$ идёт сначала в гору, затем по равнине и, наконец, под гору. Пешеход путь от А до В и обратно от В до А прошёл за $6 \text{ ч}$. Скорость его ходьбы в гору была $3 \text{ км/ч}$, по равнине — $4 \text{ км/ч}$, а под гору — $5 \text{ км/ч}$. Сколько километров составляет та часть дороги, которая идёт по равнине?

Для решения задачи введем переменные, обозначающие длины трех участков дороги из пункта А в пункт В:

• Пусть $x$ км — длина участка, идущего в гору.
• Пусть $y$ км — длина участка, идущего по равнине.
• Пусть $z$ км — длина участка, идущего под гору.

Согласно условию, общая длина дороги от А до В составляет 11,5 км. Это позволяет нам составить первое уравнение:

$x + y + z = 11,5$

Теперь проанализируем время, затраченное на путь в каждом направлении. Время вычисляется по формуле $t = S/v$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Время в пути из А в В ($t_{А \to В}$) складывается из времени на каждом участке со своей скоростью:

$t_{А \to В} = \frac{x}{v_{в \ гору}} + \frac{y}{v_{по \ равнине}} + \frac{z}{v_{под \ гору}} = \frac{x}{3} + \frac{y}{4} + \frac{z}{5}$

При движении в обратном направлении, из В в А, участки подъема и спуска меняются местами. Участок, который был спуском (длиной $z$), становится подъемом, а участок, бывший подъемом (длиной $x$), становится спуском. Равнинный участок остается неизменным. Время в пути из В в А ($t_{В \to А}$) будет равно:

$t_{В \to А} = \frac{z}{v_{в \ гору}} + \frac{y}{v_{по \ равнине}} + \frac{x}{v_{под \ гору}} = \frac{z}{3} + \frac{y}{4} + \frac{x}{5}$

Общее время в пути туда и обратно составляет 6 часов. Сложим время $t_{А \to В}$ и $t_{В \to А}$, чтобы составить второе уравнение:

$t_{общ} = t_{А \to В} + t_{В \to А} = 6$

$(\frac{x}{3} + \frac{y}{4} + \frac{z}{5}) + (\frac{z}{3} + \frac{y}{4} + \frac{x}{5}) = 6$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными:

$(\frac{x}{3} + \frac{x}{5}) + (\frac{y}{4} + \frac{y}{4}) + (\frac{z}{3} + \frac{z}{5}) = 6$

Выполним сложение в скобках:

$x(\frac{5+3}{15}) + y(\frac{1+1}{4}) + z(\frac{5+3}{15}) = 6$

$\frac{8}{15}x + \frac{2}{4}y + \frac{8}{15}z = 6$

$\frac{8}{15}x + \frac{1}{2}y + \frac{8}{15}z = 6$

Вынесем общий множитель $\frac{8}{15}$ за скобки:

$\frac{8}{15}(x + z) + \frac{1}{2}y = 6$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} x + y + z = 11,5 \\ \frac{8}{15}(x + z) + \frac{1}{2}y = 6 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим сумму $(x+z)$:

$x + z = 11,5 - y$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{8}{15}(11,5 - y) + \frac{1}{2}y = 6$

Теперь решим полученное уравнение относительно $y$ (длины равнинного участка). Раскроем скобки:

$\frac{8 \cdot 11,5}{15} - \frac{8}{15}y + \frac{1}{2}y = 6$

$\frac{92}{15} - \frac{8}{15}y + \frac{1}{2}y = 6$

Сгруппируем слагаемые с $y$ в левой части, а числовые значения перенесем в правую:

$y(\frac{1}{2} - \frac{8}{15}) = 6 - \frac{92}{15}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$y(\frac{15 - 16}{30}) = \frac{90 - 92}{15}$

$y(-\frac{1}{30}) = -\frac{2}{15}$

Домножим обе части уравнения на -30, чтобы найти $y$:

$y = \frac{2}{15} \cdot 30$

$y = \frac{60}{15}$

$y = 4$

Следовательно, длина участка дороги, которая идет по равнине, составляет 4 км.

Ответ: 4 км.

856. Два автомобилиста проехали по 240 км. Первый половину всего пути делал остановки через каждые 4 км, а другую половину — через каждые 5 км. Второй четверть всего пути делал остановки через каждые 3 км, а оставшуюся часть — через каждые 6 км. Какой автомобилист сделал остановок больше?

Чтобы определить, какой автомобилист сделал больше остановок, необходимо рассчитать их количество для каждого по отдельности. Общий путь для обоих составляет 240 км. Примем, что остановка в конечном пункте (на 240-м километре) не учитывается, так как это завершение пути, а не промежуточная остановка в пути.

Первый автомобилист

Первую половину пути, равную $240 / 2 = 120$ км, автомобилист делал остановки через каждые 4 км. Количество остановок на этом участке составляет:
$120 : 4 = 30$ остановок.
Поскольку остановка на 120-м километре является промежуточной на всем маршруте, мы ее учитываем.

Вторую половину пути, также равную 120 км, он ехал с остановками через каждые 5 км. Количество возможных остановок:
$120 : 5 = 24$ остановки.
Так как последняя остановка на этом участке совпадает с конечной точкой всего маршрута (240 км), мы ее не учитываем. Таким образом, количество реальных остановок на втором участке: $24 - 1 = 23$.

Общее количество остановок у первого автомобилиста:
$30 + 23 = 53$ остановки.

Ответ: Первый автомобилист сделал 53 остановки.

Второй автомобилист

Первую четверть пути, равную $240 / 4 = 60$ км, второй автомобилист делал остановки через каждые 3 км. Количество остановок на этом участке:
$60 : 3 = 20$ остановок.

Оставшуюся часть пути, равную $240 - 60 = 180$ км, он делал остановки через каждые 6 км. Количество возможных остановок:
$180 : 6 = 30$ остановок.
Последняя остановка совпадает с финишем, поэтому мы ее вычитаем: $30 - 1 = 29$ остановок.

Общее количество остановок у второго автомобилиста:
$20 + 29 = 49$ остановок.

Ответ: Второй автомобилист сделал 49 остановок.

Сравнение и итоговый ответ

Теперь сравним количество остановок, сделанных каждым автомобилистом:

• Первый автомобилист: 53 остановки.
• Второй автомобилист: 49 остановок.

$53 > 49$

Следовательно, первый автомобилист сделал остановок больше, чем второй.

Ответ: Первый автомобилист сделал остановок больше.

857. Двое учащихся на одинаковую сумму денег купили тетради: тонкие по $a$ рублей за тетрадь и толстые по $b$ рублей за тетрадь. Первый из них половину своих денег истратил на тонкие тетради и половину — на толстые. Второй купил на свои деньги тех и других тетрадей поровну. Кто из них купил большее число тетрадей?

Для решения задачи введем обозначения. Пусть $S$ — это одинаковая сумма денег, которая была у каждого учащегося. Цена тонкой тетради — $a$ рублей, а цена толстой тетради — $b$ рублей.

Расчет для первого учащегося

Первый учащийся потратил половину своих денег ($S/2$) на тонкие тетради и вторую половину ($S/2$) — на толстые.
Количество тонких тетрадей, которые он купил: $N_{1,a} = \frac{S/2}{a} = \frac{S}{2a}$.
Количество толстых тетрадей, которые он купил: $N_{1,b} = \frac{S/2}{b} = \frac{S}{2b}$.
Общее количество тетрадей у первого учащегося ($N_1$) составляет сумму этих количеств:
$N_1 = N_{1,a} + N_{1,b} = \frac{S}{2a} + \frac{S}{2b} = \frac{S}{2} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) = \frac{S(a+b)}{2ab}$.

Расчет для второго учащегося

Второй учащийся купил одинаковое количество тонких и толстых тетрадей. Обозначим это количество как $k$.
Стоимость $k$ тонких тетрадей равна $k \cdot a$.
Стоимость $k$ толстых тетрадей равна $k \cdot b$.
Общая сумма, которую он потратил, равна $S$. Следовательно:
$k \cdot a + k \cdot b = S$
$k(a+b) = S$
Отсюда находим количество тетрадей каждого вида: $k = \frac{S}{a+b}$.
Общее количество тетрадей у второго учащегося ($N_2$) равно:
$N_2 = k + k = 2k = \frac{2S}{a+b}$.

Сравнение количества тетрадей

Теперь необходимо сравнить общее количество тетрадей, купленное каждым учащимся: $N_1$ и $N_2$.
$N_1 = \frac{S(a+b)}{2ab}$
$N_2 = \frac{2S}{a+b}$
Для сравнения этих двух выражений найдем их разность $N_1 - N_2$:
$N_1 - N_2 = \frac{S(a+b)}{2ab} - \frac{2S}{a+b}$
Приведем дроби к общему знаменателю $2ab(a+b)$:
$N_1 - N_2 = \frac{S(a+b)(a+b)}{2ab(a+b)} - \frac{2S(2ab)}{2ab(a+b)} = \frac{S(a+b)^2 - 4Sab}{2ab(a+b)}$
Вынесем $S$ за скобки в числителе:
$N_1 - N_2 = \frac{S((a+b)^2 - 4ab)}{2ab(a+b)}$
Раскроем скобки в числителе, используя формулу квадрата суммы:
$(a+b)^2 - 4ab = (a^2 + 2ab + b^2) - 4ab = a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$
Подставим полученное выражение обратно в формулу разности:
$N_1 - N_2 = \frac{S(a-b)^2}{2ab(a+b)}$
Проанализируем это выражение:

• Сумма денег $S$ и цены $a$, $b$ — положительные величины. Следовательно, знаменатель $2ab(a+b)$ всегда положителен.
• Числитель $S(a-b)^2$ является произведением положительного числа $S$ и квадрата разности $(a-b)^2$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(a-b)^2 \ge 0$.

Таким образом, вся дробь $\frac{S(a-b)^2}{2ab(a+b)}$ всегда неотрицательна, то есть $N_1 - N_2 \ge 0$.
Это означает, что $N_1 \ge N_2$.
Рассмотрим два случая:

1. Если цены на тетради различны ($a \ne b$), то $(a-b)^2 > 0$, и следовательно, $N_1 > N_2$. Это означает, что первый учащийся купил больше тетрадей.
2. Если цены на тетради одинаковы ($a = b$), то $(a-b)^2 = 0$, и следовательно, $N_1 = N_2$. В этом случае они купили одинаковое количество тетрадей.

Поскольку в условии задачи тетради разделены на "тонкие" и "толстые", разумно предположить, что их цены различны.

Ответ: Первый учащийся купил большее число тетрадей, если цены на тонкие и толстые тетради не равны. Если цены одинаковы, то они купили равное количество тетрадей.

858. Два автобуса отправились одновременно из одного города в другой по одной и той же дороге. Первый двигался с постоянной скоростью $60 \text{ км/ч}$. Второй половину всего пути двигался со скоростью $50 \text{ км/ч}$, а остальную часть пути — со скоростью $70 \text{ км/ч}$. Какой из автобусов первым прибыл в другой город?

Для того чтобы определить, какой из автобусов прибудет первым, необходимо сравнить общее время, которое каждый из них затратил на весь путь. Автобус, затративший меньше времени, прибудет первым. Пусть всё расстояние между городами равно $S$ км.

Расчет времени для первого автобуса

Первый автобус двигался с постоянной скоростью $v_1 = 60$ км/ч. Время, которое он затратил на весь путь $S$, равно:
$t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{S}{60}$ ч.

Расчет времени для второго автобуса

Второй автобус проехал первую половину пути ($S/2$) со скоростью $v_{2a} = 50$ км/ч и вторую половину пути ($S/2$) со скоростью $v_{2b} = 70$ км/ч. Его общее время в пути $t_2$ складывается из времени, затраченного на каждый участок:
Время на первом участке: $t_{2a} = \frac{S/2}{v_{2a}} = \frac{S}{2 \cdot 50} = \frac{S}{100}$ ч.
Время на втором участке: $t_{2b} = \frac{S/2}{v_{2b}} = \frac{S}{2 \cdot 70} = \frac{S}{140}$ ч.
Общее время в пути: $t_2 = t_{2a} + t_{2b} = \frac{S}{100} + \frac{S}{140}$.
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю (наименьшее общее кратное для 100 и 140 равно 700):
$t_2 = S \cdot (\frac{1}{100} + \frac{1}{140}) = S \cdot (\frac{7}{700} + \frac{5}{700}) = S \cdot \frac{12}{700} = \frac{3S}{175}$ ч.

Сравнение времени в пути

Теперь сравним время первого автобуса $t_1 = \frac{S}{60}$ и второго $t_2 = \frac{3S}{175}$. Для этого достаточно сравнить коэффициенты при $S$, то есть дроби $\frac{1}{60}$ и $\frac{3}{175}$. Воспользуемся перекрестным умножением:
Сравниваем $1 \cdot 175$ и $3 \cdot 60$.
Получаем $175$ и $180$.
Так как $175 < 180$, то и $\frac{1}{60} < \frac{3}{175}$.
Это означает, что $t_1 < t_2$, следовательно, первый автобус затратил на дорогу меньше времени и приехал раньше.

Альтернативное решение через среднюю скорость

Можно также сравнить средние скорости автобусов. Автобус с большей средней скоростью прибудет первым, так как они едут одинаковое расстояние.
Средняя скорость первого автобуса: $\bar{v}_1 = 60$ км/ч.
Средняя скорость второго автобуса вычисляется как отношение всего пути ко всему времени (или как среднее гармоническое для двух равных участков пути):
$\bar{v}_2 = \frac{S}{t_2} = \frac{S}{\frac{3S}{175}} = \frac{175}{3} \approx 58,33$ км/ч.
Поскольку $\bar{v}_1 > \bar{v}_2$ ($60$ км/ч $> 58,33$ км/ч), первый автобус в среднем двигался быстрее и, соответственно, прибыл первым.

Ответ: Первый автобус прибыл в другой город первым.

859. На соревнованиях два велосипедиста стартовали одновременно. Первый ехал всю дистанцию с постоянной скоростью. Второй первую половину дистанции ехал в полтора раза быстрее, а вторую — в два раза медленнее первого. Кто из них выиграл гонку?

Чтобы определить победителя гонки, необходимо сравнить общее время, затраченное каждым велосипедистом на прохождение всей дистанции. Тот, кто потратил меньше времени, выиграл.

Давайте введем обозначения:
$S$ — полная дистанция гонки.
$v$ — постоянная скорость первого велосипедиста.

Время, за которое первый велосипедист проехал всю дистанцию ($t_1$), вычисляется по формуле:
$t_1 = \frac{S}{v}$

Теперь рассчитаем время второго велосипедиста ($t_2$). Его путь состоит из двух равных частей по $\frac{S}{2}$ каждая.

Первая половина дистанции:
Длина участка: $\frac{S}{2}$.
Скорость второго велосипедиста ($v_{2a}$) была в полтора раза (в 1,5 раза) быстрее скорости первого:
$v_{2a} = 1.5 \cdot v = \frac{3}{2}v$
Время на этом участке ($t_{2a}$):
$t_{2a} = \frac{S/2}{v_{2a}} = \frac{S/2}{(3/2)v} = \frac{S}{2} \cdot \frac{2}{3v} = \frac{S}{3v}$

Вторая половина дистанции:
Длина участка: $\frac{S}{2}$.
Скорость второго велосипедиста ($v_{2b}$) была в два раза медленнее скорости первого:
$v_{2b} = \frac{v}{2}$
Время на этом участке ($t_{2b}$):
$t_{2b} = \frac{S/2}{v_{2b}} = \frac{S/2}{v/2} = \frac{S}{2} \cdot \frac{2}{v} = \frac{S}{v}$

Общее время второго велосипедиста — это сумма времени, затраченного на оба участка:
$t_2 = t_{2a} + t_{2b} = \frac{S}{3v} + \frac{S}{v}$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$t_2 = \frac{S}{3v} + \frac{3S}{3v} = \frac{S + 3S}{3v} = \frac{4S}{3v}$

Теперь сравним время первого ($t_1$) и второго ($t_2$) велосипедистов:
$t_1 = \frac{S}{v}$
$t_2 = \frac{4}{3} \cdot \frac{S}{v}$
Мы видим, что $t_2 = \frac{4}{3}t_1$.

Поскольку коэффициент $\frac{4}{3}$ больше единицы, время второго велосипедиста ($t_2$) больше времени первого ($t_1$). Это означает, что первый велосипедист приехал на финиш раньше.
Интересно отметить, что время, которое второй велосипедист затратил только на вторую, медленную половину пути ($t_{2b} = \frac{S}{v}$), уже равно всему времени, которое потратил на гонку первый велосипедист.

Ответ: гонку выиграл первый велосипедист.