Страница 260 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

783. Найти координаты точек пересечения заданной прямой с осями координат:

1) $y=7x+4;$

2) $y=-7x+4;$

3) $y=3,5x-1;$

4) $y=-3,5x+1.$

Чтобы найти координаты точек пересечения прямой с осями координат, необходимо поочередно найти точки, в которых одна из координат равна нулю.

Пересечение с осью ординат (осью Oy): Все точки на этой оси имеют абсциссу $x=0$. Подставляем это значение в уравнение прямой и находим соответствующее значение $y$. Координаты точки пересечения будут $(0, y)$.

Пересечение с осью абсцисс (осью Ox): Все точки на этой оси имеют ординату $y=0$. Подставляем это значение в уравнение прямой и решаем его относительно $x$. Координаты точки пересечения будут $(x, 0)$.

1) $y=7x+4$

Найдём пересечение с осью Oy, подставив $x=0$:

$y = 7 \cdot 0 + 4 = 4$

Точка пересечения с осью Oy: $(0, 4)$.

Найдём пересечение с осью Ox, подставив $y=0$:

$0 = 7x + 4$

$7x = -4$

$x = -\frac{4}{7}$

Точка пересечения с осью Ox: $(-\frac{4}{7}, 0)$.

Ответ: с осью Oy $(0, 4)$, с осью Ox $(-\frac{4}{7}, 0)$.

2) $y=-7x+4$

Найдём пересечение с осью Oy, подставив $x=0$:

$y = -7 \cdot 0 + 4 = 4$

Точка пересечения с осью Oy: $(0, 4)$.

Найдём пересечение с осью Ox, подставив $y=0$:

$0 = -7x + 4$

$7x = 4$

$x = \frac{4}{7}$

Точка пересечения с осью Ox: $(\frac{4}{7}, 0)$.

Ответ: с осью Oy $(0, 4)$, с осью Ox $(\frac{4}{7}, 0)$.

3) $y=3,5x-1$

Найдём пересечение с осью Oy, подставив $x=0$:

$y = 3,5 \cdot 0 - 1 = -1$

Точка пересечения с осью Oy: $(0, -1)$.

Найдём пересечение с осью Ox, подставив $y=0$:

$0 = 3,5x - 1$

$3,5x = 1$

$x = \frac{1}{3,5} = \frac{1}{7/2} = \frac{2}{7}$

Точка пересечения с осью Ox: $(\frac{2}{7}, 0)$.

Ответ: с осью Oy $(0, -1)$, с осью Ox $(\frac{2}{7}, 0)$.

4) $y=-3,5x+1$

Найдём пересечение с осью Oy, подставив $x=0$:

$y = -3,5 \cdot 0 + 1 = 1$

Точка пересечения с осью Oy: $(0, 1)$.

Найдём пересечение с осью Ox, подставив $y=0$:

$0 = -3,5x + 1$

$3,5x = 1$

$x = \frac{1}{3,5} = \frac{1}{7/2} = \frac{2}{7}$

Точка пересечения с осью Ox: $(\frac{2}{7}, 0)$.

Ответ: с осью Oy $(0, 1)$, с осью Ox $(\frac{2}{7}, 0)$.

784. Построить график уравнения:

1) $2y+3=0;$ 2) $1-3x=0;$ 3) $x+y-1=0;$

4) $2x+y=3;$ 5) $3y-2x=9;$ 6) $2x=y-1.$

1) 2y + 3 = 0
Это линейное уравнение. Для построения его графика выразим переменную $y$.
$2y = -3$
$y = -3/2$
$y = -1.5$
Это уравнение задает прямую, в каждой точке которой ордината $y$ равна $-1.5$ при любом значении абсциссы $x$. Графиком является горизонтальная прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0; -1.5)$. Для построения можно взять две любые точки, например, $(0; -1.5)$ и $(4; -1.5)$, и провести через них прямую.
Ответ: График уравнения — это прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку $(0; -1.5)$.

2) 1 - 3x = 0
Это линейное уравнение. Для построения его графика выразим переменную $x$.
$-3x = -1$
$x = 1/3$
Это уравнение задает прямую, в каждой точке которой абсцисса $x$ равна $1/3$ при любом значении ординаты $y$. Графиком является вертикальная прямая, параллельная оси $Oy$ и проходящая через точку $(1/3; 0)$. Для построения можно взять две любые точки, например, $(1/3; 0)$ и $(1/3; 3)$, и провести через них прямую.
Ответ: График уравнения — это прямая, параллельная оси ординат и проходящая через точку $(1/3; 0)$.

3) x + y - 1 = 0
Это линейное уравнение с двумя переменными, его график — прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек.
Выразим $y$ через $x$:
$y = -x + 1$
Найдем две точки, подставив произвольные значения $x$:
1. Если $x = 0$, то $y = -0 + 1 = 1$. Получаем точку $(0; 1)$.
2. Если $x = 2$, то $y = -2 + 1 = -1$. Получаем точку $(2; -1)$.
Теперь построим на координатной плоскости точки $(0; 1)$ и $(2; -1)$ и проведем через них прямую.
Ответ: График уравнения — это прямая, проходящая через точки $(0; 1)$ и $(2; -1)$.

4) 2x + y = 3
Это линейное уравнение с двумя переменными, его график — прямая линия. Для построения прямой найдем координаты двух точек.
Выразим $y$ через $x$:
$y = 3 - 2x$
Найдем две точки, подставив произвольные значения $x$:
1. Если $x = 0$, то $y = 3 - 2 \cdot 0 = 3$. Получаем точку $(0; 3)$.
2. Если $x = 2$, то $y = 3 - 2 \cdot 2 = 3 - 4 = -1$. Получаем точку $(2; -1)$.
Построим на координатной плоскости точки $(0; 3)$ и $(2; -1)$ и проведем через них прямую.
Ответ: График уравнения — это прямая, проходящая через точки $(0; 3)$ и $(2; -1)$.

5) 3y - 2x = 9
Это линейное уравнение с двумя переменными, его график — прямая линия. Для построения прямой найдем координаты двух точек.
Выразим $y$ через $x$:
$3y = 2x + 9$
$y = \frac{2}{3}x + 3$
Найдем две точки, подставив произвольные значения $x$. Удобно выбирать значения $x$, кратные 3, чтобы избежать дробей в ответе.
1. Если $x = 0$, то $y = \frac{2}{3} \cdot 0 + 3 = 3$. Получаем точку $(0; 3)$.
2. Если $x = 3$, то $y = \frac{2}{3} \cdot 3 + 3 = 2 + 3 = 5$. Получаем точку $(3; 5)$.
Построим на координатной плоскости точки $(0; 3)$ и $(3; 5)$ и проведем через них прямую.
Ответ: График уравнения — это прямая, проходящая через точки $(0; 3)$ и $(3; 5)$.

6) 2x = y - 1
Это линейное уравнение с двумя переменными, его график — прямая линия. Для построения прямой найдем координаты двух точек.
Выразим $y$ через $x$:
$y = 2x + 1$
Найдем две точки, подставив произвольные значения $x$:
1. Если $x = 0$, то $y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$. Получаем точку $(0; 1)$.
2. Если $x = 2$, то $y = 2 \cdot 2 + 1 = 5$. Получаем точку $(2; 5)$.
Построим на координатной плоскости точки $(0; 1)$ и $(2; 5)$ и проведем через них прямую.
Ответ: График уравнения — это прямая, проходящая через точки $(0; 1)$ и $(2; 5)$.

785. Найти координаты точки пересечения прямых:

1) $y=4x-6$ и $y=3x-2$;

2) $y=3x-1$ и $y=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}$.

1) Чтобы найти координаты точки пересечения прямых, необходимо решить систему уравнений, задающих эти прямые. В точке пересечения координаты $x$ и $y$ у обеих прямых совпадают.

Даны уравнения:

$y=4x-6$

$y=3x-2$

Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны ($y$):

$4x-6 = 3x-2$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$4x-3x = 6-2$

$x=4$

Мы нашли абсциссу (координату $x$) точки пересечения. Чтобы найти ординату (координату $y$), подставим найденное значение $x=4$ в любое из исходных уравнений. Например, во второе:

$y = 3x-2 = 3 \cdot 4 - 2 = 12 - 2 = 10$

Таким образом, координаты точки пересечения — $(4; 10)$.

Ответ: $(4; 10)$

2) Аналогично найдем точку пересечения для второй пары прямых.

Даны уравнения:

$y=3x-1$

$y=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}$

Приравняем правые части уравнений:

$3x-1 = -\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}$

Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части уравнения на 3:

$3 \cdot (3x-1) = 3 \cdot (-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3})$

$9x-3 = -5x+8$

Сгруппируем члены с $x$ в левой части, а константы — в правой:

$9x+5x = 8+3$

$14x = 11$

$x = \frac{11}{14}$

Теперь найдем ординату $y$, подставив значение $x$ в первое уравнение (оно проще для вычислений):

$y = 3x-1 = 3 \cdot \frac{11}{14} - 1 = \frac{33}{14} - 1$

Приведем к общему знаменателю:

$y = \frac{33}{14} - \frac{14}{14} = \frac{33-14}{14} = \frac{19}{14}$

Следовательно, координаты точки пересечения — $(\frac{11}{14}; \frac{19}{14})$.

Ответ: $(\frac{11}{14}; \frac{19}{14})$

Решить систему уравнений способом подстановки или способом алгебраического сложения (786–787).

786. 1) $\begin{cases} 2x - y = -6, \\ x + 2y = 7; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3x - y - 6 = 0, \\ 2x - 3y + 3 = 0; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x + y = 4, \\ 3x + y = 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 2x - y = 4, \\ 3x + y + 9 = 0; \end{cases}$

5) $\begin{cases} 3x + 7y = 13, \\ 8x - 3y = 13; \end{cases}$

6) $\begin{cases} 3x - 5y = 6, \\ -8y = 3x + 7. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x - y = -6 \\ x + 2y = 7 \end{cases} $

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим y:

$y = 2x + 6$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x + 2(2x + 6) = 7$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$x + 4x + 12 = 7$

$5x = 7 - 12$

$5x = -5$

$x = -1$

Теперь найдем y, подставив значение x в выражение для y:

$y = 2(-1) + 6 = -2 + 6 = 4$

Ответ: $(-1; 4)$.

2) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} 3x - y - 6 = 0 \\ 2x - 3y + 3 = 0 \end{cases} $

Приведем систему к стандартному виду:

$ \begin{cases} 3x - y = 6 \\ 2x - 3y = -3 \end{cases} $

Решим методом подстановки. Из первого уравнения выразим y:

$y = 3x - 6$

Подставим во второе уравнение:

$2x - 3(3x - 6) = -3$

$2x - 9x + 18 = -3$

$-7x = -21$

$x = 3$

Теперь найдем y:

$y = 3(3) - 6 = 9 - 6 = 3$

Ответ: $(3; 3)$.

3) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 4 \\ 3x + y = 0 \end{cases} $

Решим систему методом алгебраического сложения. Вычтем первое уравнение из второго:

$(3x + y) - (x + y) = 0 - 4$

$2x = -4$

$x = -2$

Подставим найденное значение x в первое уравнение, чтобы найти y:

$-2 + y = 4$

$y = 6$

Ответ: $(-2; 6)$.

4) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} 2x - y = 4 \\ 3x + y + 9 = 0 \end{cases} $

Приведем второе уравнение к стандартному виду:

$ \begin{cases} 2x - y = 4 \\ 3x + y = -9 \end{cases} $

Решим методом алгебраического сложения. Сложим два уравнения:

$(2x - y) + (3x + y) = 4 + (-9)$

$5x = -5$

$x = -1$

Подставим значение x в первое уравнение, чтобы найти y:

$2(-1) - y = 4$

$-2 - y = 4$

$-y = 6$

$y = -6$

Ответ: $(-1; -6)$.

5) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x + 7y = 13 \\ 8x - 3y = 13 \end{cases} $

Решим методом алгебраического сложения. Чтобы исключить переменную y, умножим первое уравнение на 3, а второе на 7:

$ \begin{cases} 3(3x + 7y) = 3 \cdot 13 \\ 7(8x - 3y) = 7 \cdot 13 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 9x + 21y = 39 \\ 56x - 21y = 91 \end{cases} $

Сложим полученные уравнения:

$(9x + 21y) + (56x - 21y) = 39 + 91$

$65x = 130$

$x = 2$

Подставим значение x в первое исходное уравнение, чтобы найти y:

$3(2) + 7y = 13$

$6 + 7y = 13$

$7y = 7$

$y = 1$

Ответ: $(2; 1)$.

6) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} 3x - 5y = 6 \\ -8y = 3x + 7 \end{cases} $

Приведем второе уравнение к стандартному виду, перенеся 3x в левую часть:

$ \begin{cases} 3x - 5y = 6 \\ -3x - 8y = 7 \end{cases} $

Решим методом алгебраического сложения. Сложим два уравнения:

$(3x - 5y) + (-3x - 8y) = 6 + 7$

$-13y = 13$

$y = -1$

Подставим значение y в первое уравнение, чтобы найти x:

$3x - 5(-1) = 6$

$3x + 5 = 6$

$3x = 1$

$x = \frac{1}{3}$

Ответ: $(\frac{1}{3}; -1)$.

787. 1) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{x}{5} + \frac{y}{2} = 5, \\ \frac{x}{4} - \frac{y}{5} = 0,5; \end{array} \right.$

2) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{2x}{3} - \frac{5y}{4} = -3, \\ \frac{5x}{6} - \frac{7y}{8} = -1; \end{array} \right.$

3) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{x+y}{3} + y = 9, \\ \frac{x-y}{3} - x = -4; \end{array} \right.$

4) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{x+y}{2} = \frac{1}{3}, \\ x - y = \frac{1}{2}. \end{array} \right.$

1)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x}{5} + \frac{y}{2} = 5 \\ \frac{x}{4} - \frac{y}{5} = 0,5 \end{cases} $

Для избавления от дробей в первом уравнении, умножим обе его части на наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 2, то есть на 10:

$10 \cdot (\frac{x}{5} + \frac{y}{2}) = 10 \cdot 5$

$2x + 5y = 50$

Во втором уравнении умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 5, то есть на 20 (предварительно представив 0,5 как $\frac{1}{2}$):

$20 \cdot (\frac{x}{4} - \frac{y}{5}) = 20 \cdot 0,5$

$5x - 4y = 10$

Теперь система имеет вид:

$ \begin{cases} 2x + 5y = 50 \\ 5x - 4y = 10 \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 4, а второе на 5, чтобы коэффициенты при y стали противоположными:

$4 \cdot (2x + 5y = 50) \implies 8x + 20y = 200$

$5 \cdot (5x - 4y = 10) \implies 25x - 20y = 50$

Сложим полученные уравнения:

$(8x + 20y) + (25x - 20y) = 200 + 50$

$33x = 250$

$x = \frac{250}{33}$

Подставим найденное значение x в уравнение $2x + 5y = 50$:

$2 \cdot (\frac{250}{33}) + 5y = 50$

$\frac{500}{33} + 5y = 50$

$5y = 50 - \frac{500}{33}$

$5y = \frac{1650 - 500}{33}$

$5y = \frac{1150}{33}$

$y = \frac{1150}{33 \cdot 5} = \frac{230}{33}$

Ответ: $(\frac{250}{33}; \frac{230}{33})$.

2)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{2x}{3} - \frac{5y}{4} = -3 \\ \frac{5x}{6} - \frac{7y}{8} = -1 \end{cases} $

Умножим первое уравнение на НОК(3, 4) = 12:

$12 \cdot (\frac{2x}{3} - \frac{5y}{4}) = 12 \cdot (-3)$

$4 \cdot 2x - 3 \cdot 5y = -36$

$8x - 15y = -36$

Умножим второе уравнение на НОК(6, 8) = 24:

$24 \cdot (\frac{5x}{6} - \frac{7y}{8}) = 24 \cdot (-1)$

$4 \cdot 5x - 3 \cdot 7y = -24$

$20x - 21y = -24$

Получили систему:

$ \begin{cases} 8x - 15y = -36 \\ 20x - 21y = -24 \end{cases} $

Решим методом сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на -2, чтобы избавиться от x:

$5 \cdot (8x - 15y = -36) \implies 40x - 75y = -180$

$-2 \cdot (20x - 21y = -24) \implies -40x + 42y = 48$

Сложим полученные уравнения:

$(40x - 75y) + (-40x + 42y) = -180 + 48$

$-33y = -132$

$y = \frac{-132}{-33} = 4$

Подставим $y=4$ в уравнение $8x - 15y = -36$:

$8x - 15 \cdot 4 = -36$

$8x - 60 = -36$

$8x = 24$

$x = 3$

Ответ: $(3; 4)$.

3)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x+y}{3} + y = 9 \\ \frac{x-y}{3} - x = -4 \end{cases} $

Упростим оба уравнения, умножив их на 3.

Первое уравнение:

$3 \cdot (\frac{x+y}{3} + y) = 3 \cdot 9$

$x + y + 3y = 27$

$x + 4y = 27$

Второе уравнение:

$3 \cdot (\frac{x-y}{3} - x) = 3 \cdot (-4)$

$x - y - 3x = -12$

$-2x - y = -12 \implies 2x + y = 12$

Получили систему:

$ \begin{cases} x + 4y = 27 \\ 2x + y = 12 \end{cases} $

Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим y:

$y = 12 - 2x$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x + 4(12 - 2x) = 27$

$x + 48 - 8x = 27$

$-7x = 27 - 48$

$-7x = -21$

$x = 3$

Теперь найдем y:

$y = 12 - 2 \cdot 3 = 12 - 6 = 6$

Ответ: $(3; 6)$.

4)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x+y}{2} = \frac{1}{3} \\ x - y = \frac{1}{2} \end{cases} $

Упростим первое уравнение, умножив обе части на 2:

$2 \cdot (\frac{x+y}{2}) = 2 \cdot \frac{1}{3}$

$x + y = \frac{2}{3}$

Теперь система имеет вид:

$ \begin{cases} x + y = \frac{2}{3} \\ x - y = \frac{1}{2} \end{cases} $

Это классическая система для решения методом сложения. Сложим два уравнения, чтобы найти x:

$(x + y) + (x - y) = \frac{2}{3} + \frac{1}{2}$

$2x = \frac{4}{6} + \frac{3}{6}$

$2x = \frac{7}{6}$

$x = \frac{7}{12}$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти y:

$(x + y) - (x - y) = \frac{2}{3} - \frac{1}{2}$

$2y = \frac{4}{6} - \frac{3}{6}$

$2y = \frac{1}{6}$

$y = \frac{1}{12}$

Ответ: $(\frac{7}{12}; \frac{1}{12})$.

788. Решить графически систему уравнений:

1) $ \begin{cases} 2x + 5y = 1, \\ y = 1; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x + y = 2, \\ 2x + y = 0; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} 3x + 2y = 1, \\ 5x - 2y = 7; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} 4x - 5y - 7 = 0, \\ 2x - 8y + 2 = 0. \end{cases} $

1) Для графического решения системы уравнений необходимо построить графики для каждого уравнения и найти их точку пересечения. Координаты этой точки и будут решением системы.

Рассмотрим систему: $$ \begin{cases} 2x + 5y = 1, \\ y = 1; \end{cases} $$

Первое уравнение $2x + 5y = 1$ — это линейное уравнение, его график — прямая. Для ее построения найдем две точки.
Выразим $y$ через $x$: $5y = 1 - 2x$, то есть $y = \frac{1 - 2x}{5}$.
Если $x = -2$, то $y = \frac{1 - 2(-2)}{5} = \frac{5}{5} = 1$. Получаем точку $(-2, 1)$.
Если $x = 3$, то $y = \frac{1 - 2(3)}{5} = \frac{-5}{5} = -1$. Получаем точку $(3, -1)$.

Второе уравнение $y = 1$ — это прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через все точки с ординатой, равной 1.

Построив оба графика, мы увидим, что они пересекаются. Чтобы найти точку пересечения, можно подставить $y = 1$ из второго уравнения в первое:
$2x + 5(1) = 1$
$2x + 5 = 1$
$2x = -4$
$x = -2$
Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(-2, 1)$.

Ответ: $(-2, 1)$.

2) Рассмотрим систему: $$ \begin{cases} x + y = 2, \\ 2x + y = 0; \end{cases} $$

Построим график первого уравнения $x + y = 2$. Выразим $y$ через $x$: $y = 2 - x$.
Найдем две точки для построения прямой:
Если $x = 0$, то $y = 2$. Точка $(0, 2)$.
Если $x = 2$, то $y = 0$. Точка $(2, 0)$.

Построим график второго уравнения $2x + y = 0$. Выразим $y$ через $x$: $y = -2x$.
Найдем две точки для построения прямой:
Если $x = 0$, то $y = 0$. Точка $(0, 0)$.
Если $x = 1$, то $y = -2$. Точка $(1, -2)$.

Построив графики прямых $y = 2 - x$ и $y = -2x$ в одной системе координат, найдем их точку пересечения. Из графиков видно, что прямые пересекаются в точке с координатами $(-2, 4)$.
Проверим подстановкой:
$-2 + 4 = 2$ (верно)
$2(-2) + 4 = -4 + 4 = 0$ (верно)

Ответ: $(-2, 4)$.

3) Рассмотрим систему: $$ \begin{cases} 3x + 2y = 1, \\ 5x - 2y = 7; \end{cases} $$

Построим график первого уравнения $3x + 2y = 1$. Выразим $y$ через $x$: $2y = 1 - 3x$, то есть $y = \frac{1 - 3x}{2}$.
Найдем две точки:
Если $x = 1$, то $y = \frac{1 - 3}{2} = -1$. Точка $(1, -1)$.
Если $x = -1$, то $y = \frac{1 + 3}{2} = 2$. Точка $(-1, 2)$.

Построим график второго уравнения $5x - 2y = 7$. Выразим $y$ через $x$: $-2y = 7 - 5x$, то есть $y = \frac{5x - 7}{2}$.
Найдем две точки:
Если $x = 1$, то $y = \frac{5 - 7}{2} = -1$. Точка $(1, -1)$.
Если $x = 3$, то $y = \frac{15 - 7}{2} = 4$. Точка $(3, 4)$.

При нахождении точек для построения мы обнаружили, что точка $(1, -1)$ принадлежит обоим графикам. Это и есть точка их пересечения.

Ответ: $(1, -1)$.

4) Рассмотрим систему: $$ \begin{cases} 4x - 5y - 7 = 0, \\ 2x - 8y + 2 = 0. \end{cases} $$ Перепишем уравнения в более удобном виде: $$ \begin{cases} 4x - 5y = 7, \\ 2x - 8y = -2. \end{cases} $$ Второе уравнение можно упростить, разделив обе части на 2: $x - 4y = -1$.

Построим график первого уравнения $4x - 5y = 7$. Выразим $y$ через $x$: $5y = 4x - 7$, то есть $y = \frac{4x - 7}{5}$.
Найдем две точки:
Если $x = 3$, то $y = \frac{4(3) - 7}{5} = \frac{5}{5} = 1$. Точка $(3, 1)$.
Если $x = -2$, то $y = \frac{4(-2) - 7}{5} = \frac{-15}{5} = -3$. Точка $(-2, -3)$.

Построим график второго (упрощенного) уравнения $x - 4y = -1$. Выразим $y$ через $x$: $4y = x + 1$, то есть $y = \frac{x + 1}{4}$.
Найдем две точки:
Если $x = 3$, то $y = \frac{3+1}{4} = 1$. Точка $(3, 1)$.
Если $x = -1$, то $y = \frac{-1+1}{4} = 0$. Точка $(-1, 0)$.

Как и в предыдущем случае, мы нашли общую точку $(3, 1)$ при поиске координат для построения графиков. Эта точка является решением системы.

Ответ: $(3, 1)$.

789. В первом баке в 4 раза больше жидкости, чем во втором. Когда из первого бака перелили 10 л жидкости во второй, оказалось, что во втором баке стало в 1,5 раза больше жидкости, чем осталось в первом баке. Сколько жидкости было в каждом баке первоначально?

Для решения задачи составим уравнение. Пусть $x$ литров — это количество жидкости, которое было во втором баке первоначально.

Согласно условию, в первом баке было в 4 раза больше жидкости, то есть $4x$ литров.

Когда из первого бака перелили 10 литров, количество жидкости в нем стало равным $(4x - 10)$ л.

Эти 10 литров добавили во второй бак, и количество жидкости в нем стало равным $(x + 10)$ л.

После переливания оказалось, что во втором баке стало в 1,5 раза больше жидкости, чем осталось в первом. На основе этого составим уравнение:

$x + 10 = 1,5 \cdot (4x - 10)$

Теперь решим это уравнение:

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$x + 10 = 1,5 \cdot 4x - 1,5 \cdot 10$

$x + 10 = 6x - 15$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$10 + 15 = 6x - x$

$25 = 5x$

Найдем $x$:

$x = \frac{25}{5}$

$x = 5$

Итак, мы нашли, что первоначально во втором баке было 5 литров жидкости.

Теперь найдем, сколько жидкости было в первом баке:

$4x = 4 \cdot 5 = 20$ литров.

Проверим полученные результаты. Изначально: 20 л в первом баке и 5 л во втором (20 в 4 раза больше 5). После переливания: в первом баке осталось $20 - 10 = 10$ л, а во втором стало $5 + 10 = 15$ л. Отношение количества жидкости во втором баке к первому: $15 / 10 = 1,5$. Условия задачи выполнены.

Ответ: первоначально в первом баке было 20 л жидкости, а во втором — 5 л.

790. За две пары гольф и три пары носков заплатили 3600 р.
Сколько стоит пара гольф и пара носков, если 1 пара гольф и 4 пары носков стоят 3300 р.?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $g$ — это стоимость одной пары гольф в рублях, а $n$ — стоимость одной пары носков в рублях.

На основе данных из условия задачи можно составить два уравнения:

1. Стоимость двух пар гольф и трех пар носков составляет 3600 рублей. Математически это можно записать так: $2g + 3n = 3600$

2. Стоимость одной пары гольф и четырех пар носков составляет 3300 рублей. Это можно записать как: $g + 4n = 3300$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными: $$ \begin{cases} 2g + 3n = 3600 \\ g + 4n = 3300 \end{cases} $$

Для решения системы удобно использовать метод подстановки. Выразим $g$ из второго уравнения: $g = 3300 - 4n$

Подставим полученное выражение для $g$ в первое уравнение системы: $2(3300 - 4n) + 3n = 3600$

Теперь решим это уравнение относительно $n$. Сначала раскроем скобки: $6600 - 8n + 3n = 3600$

Приведем подобные слагаемые: $6600 - 5n = 3600$

Перенесем свободные члены в одну сторону, а слагаемые с $n$ — в другую: $5n = 6600 - 3600$ $5n = 3000$

Найдем $n$: $n = \frac{3000}{5}$ $n = 600$

Итак, стоимость одной пары носков составляет 600 рублей.

Теперь, зная стоимость носков, найдем стоимость гольф, подставив значение $n$ в выражение для $g$: $g = 3300 - 4n$ $g = 3300 - 4 \cdot 600$ $g = 3300 - 2400$ $g = 900$

Таким образом, стоимость одной пары гольф составляет 900 рублей.

Ответ: одна пара гольф стоит 900 рублей, а одна пара носков — 600 рублей.