Страница 254 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Электричка проехала мимо столба за 12 с, а мимо платформы длиной 350 м за 26 с. Найти длину электрички и её скорость.

Указание.

$x$ м — длина электрички,

$y$ м/с — скорость электрички.

Так как электричка со скоростью $y$ проехала мимо столба за 12 с, то пройденный за это время путь будет равен её длине, т. е. $x=12y$.

За 26 с электричка прошла путь, равный длине платформы, сложенный с её собственной длиной, т. е. $26y=350+x$.

Для решения этой задачи воспользуемся указаниями и введем переменные:

• Пусть $x$ (в метрах) — это длина электрички.
• Пусть $y$ (в метрах в секунду) — это скорость электрички.

Мы можем составить систему уравнений на основе двух условий, данных в задаче.

1. Проезд мимо столба:

Когда электричка проезжает мимо неподвижного точечного объекта (в данном случае столба), расстояние, которое она проходит, равно ее собственной длине. Время проезда составляет 12 секунд. Используя основную формулу движения $S = v \cdot t$ (путь = скорость × время), получаем первое уравнение:

$x = y \cdot 12$

или

$x = 12y$

2. Проезд мимо платформы:

Когда электричка проезжает мимо платформы, общее расстояние, которое проходит ее головной вагон (с момента, как он поравнялся с началом платформы, и до момента, как ее хвост покинул конец платформы), равно сумме длины платформы и длины самой электрички. Длина платформы — 350 м, а время проезда — 26 с. Получаем второе уравнение:

$x + 350 = y \cdot 26$

или

$x + 350 = 26y$

Решение системы уравнений:

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} x = 12y \\ x + 350 = 26y \end{cases} $

Для решения системы воспользуемся методом подстановки. Подставим выражение для $x$ из первого уравнения ($x = 12y$) во второе уравнение:

$(12y) + 350 = 26y$

Теперь решим полученное уравнение относительно $y$. Перенесем все слагаемые с $y$ в правую часть уравнения:

$350 = 26y - 12y$

$350 = 14y$

Найдем скорость $y$:

$y = \frac{350}{14}$

$y = 25$

Итак, скорость электрички составляет 25 м/с.

Теперь, зная скорость, мы можем найти длину электрички $x$, подставив значение $y$ в первое уравнение:

$x = 12y$

$x = 12 \cdot 25$

$x = 300$

Следовательно, длина электрички составляет 300 метров.

Ответ: длина электрички — 300 м, ее скорость — 25 м/с.

2. Сплав содержит меди на 640 г больше, чем цинка. Когда из сплава выделили $\frac{6}{7}$ содержащейся в нём меди и 60 % цинка, масса сплава стала 200 г. Сколько весил сплав первоначально?

Пусть первоначальная масса цинка в сплаве равна $x$ граммов.

Согласно условию, меди в сплаве было на 640 г больше, чем цинка. Следовательно, первоначальная масса меди составляла $(x + 640)$ граммов.

Первоначальная масса всего сплава была равна сумме масс цинка и меди: $x + (x + 640) = 2x + 640$ граммов.

Из сплава выделили $\frac{6}{7}$ содержащейся в нём меди. Это означает, что в сплаве осталась $1 - \frac{6}{7} = \frac{1}{7}$ от первоначальной массы меди. Масса оставшейся меди:

$\frac{1}{7} \cdot (x + 640)$ г

Также из сплава выделили 60% цинка. Это означает, что в сплаве осталось $100\% - 60\% = 40\%$ от первоначальной массы цинка. Масса оставшегося цинка (учитывая, что 40% = 0,4):

$0,4 \cdot x$ г

Масса сплава после выделения металлов стала 200 г. Эта масса складывается из оставшейся массы меди и оставшейся массы цинка. Составим уравнение:

$\frac{1}{7}(x + 640) + 0,4x = 200$

Решим это уравнение. Для начала умножим обе части уравнения на 7, чтобы избавиться от знаменателя:

$7 \cdot \left(\frac{1}{7}(x + 640) + 0,4x\right) = 200 \cdot 7$

$(x + 640) + 7 \cdot 0,4x = 1400$

$x + 640 + 2,8x = 1400$

Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а числовые значения — в правой:

$x + 2,8x = 1400 - 640$

$3,8x = 760$

$x = \frac{760}{3,8}$

$x = \frac{7600}{38}$

$x = 200$

Таким образом, первоначальная масса цинка в сплаве составляла 200 г.

Первоначальная масса меди была на 640 г больше:

$200 + 640 = 840$ г

Вопрос задачи — сколько весил сплав первоначально. Для этого сложим первоначальные массы меди и цинка:

$840 \text{ г (медь)} + 200 \text{ г (цинк)} = 1040 \text{ г}$

Ответ: первоначально сплав весил 1040 г.

3. Чашка с блюдцем вместе стоили 1550 р. После того как чашка подешевела на 10%, а блюдце — на 15%, их суммарная стоимость составила 1360 р. Сколько стоила чашка и сколько стоило блюдце до уценки?

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений.

Пусть $x$ — первоначальная стоимость чашки в рублях, а $y$ — первоначальная стоимость блюдца в рублях.

Из условия известно, что их суммарная стоимость была 1550 рублей. Это позволяет составить первое уравнение:

$x + y = 1550$

После того как чашка подешевела на 10%, ее новая стоимость стала равна $x - 0.10x = 0.9x$.

Стоимость блюдца уменьшилась на 15%, и его новая стоимость стала равна $y - 0.15y = 0.85y$.

Новая суммарная стоимость составила 1360 рублей. Это позволяет составить второе уравнение:

$0.9x + 0.85y = 1360$

Таким образом, мы имеем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} x + y = 1550 \\ 0.9x + 0.85y = 1360 \end{cases} $

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = 1550 - y$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы:

$0.9(1550 - y) + 0.85y = 1360$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $y$:

$1395 - 0.9y + 0.85y = 1360$

Приведем подобные слагаемые:

$1395 - 0.05y = 1360$

Перенесем члены уравнения так, чтобы выделить $y$:

$0.05y = 1395 - 1360$

$0.05y = 35$

Найдем значение $y$:

$y = \frac{35}{0.05} = \frac{3500}{5} = 700$

Итак, первоначальная стоимость блюдца составляла 700 рублей.

Теперь найдем первоначальную стоимость чашки, подставив значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 1550 - 700 = 850$

Следовательно, первоначальная стоимость чашки составляла 850 рублей.

Проверка:

Первоначальная общая стоимость: $850 \text{ р.} + 700 \text{ р.} = 1550 \text{ р.}$ (верно)

Новая стоимость чашки: $850 \times (1 - 0.10) = 850 \times 0.9 = 765 \text{ р.}$

Новая стоимость блюдца: $700 \times (1 - 0.15) = 700 \times 0.85 = 595 \text{ р.}$

Новая общая стоимость: $765 \text{ р.} + 595 \text{ р.} = 1360 \text{ р.}$ (верно)

Ответ: до уценки чашка стоила 850 рублей, а блюдце стоило 700 рублей.

4. После того как с первого склада вывезли $30\%$ имевшегося там сахара, а со второго — $20\%$ сахара, оказалось, что на двух складах осталось $436$ ц сахара. На следующий день со второго склада вывезли $25\%$ оставшегося сахара, и оказалось, что на нём стало на $33$ ц сахара больше, чем оставалось на первом складе. Сколько сахара было на каждом складе первоначально?

Для решения задачи введём переменные. Пусть $x$ — первоначальное количество сахара на первом складе в центнерах (ц), а $y$ — первоначальное количество сахара на втором складе в центнерах (ц).

Шаг 1: Составление первого уравнения по событиям первого дня.
С первого склада вывезли 30% сахара. Это означает, что на складе осталось $100\% - 30\% = 70\%$ от первоначального количества.
Остаток на первом складе: $x \times \frac{70}{100} = 0.7x$ ц.
Со второго склада вывезли 20% сахара. На складе осталось $100\% - 20\% = 80\%$ от первоначального количества.
Остаток на втором складе: $y \times \frac{80}{100} = 0.8y$ ц.
По условию, суммарный остаток на двух складах составил 436 ц. Это позволяет нам составить первое уравнение:
$0.7x + 0.8y = 436$

Шаг 2: Составление второго уравнения по событиям второго дня.
На следующий день со второго склада вывезли 25% от оставшегося там сахара. Количество сахара, оставшегося на втором складе после первого дня, было $0.8y$. После вывоза 25% на складе осталось $100\% - 25\% = 75\%$ от этого количества.
Новый остаток на втором складе: $0.75 \times (0.8y) = 0.6y$ ц.
Количество сахара на первом складе в этот день не менялось и по-прежнему составляет $0.7x$ ц.
По условию, после этого на втором складе стало на 33 ц сахара больше, чем на первом. Это даёт нам второе уравнение:
$0.6y = 0.7x + 33$

Шаг 3: Решение системы уравнений.
Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} 0.7x + 0.8y = 436 \\ 0.6y = 0.7x + 33 \end{cases}$
Выразим $0.7x$ из второго уравнения:
$0.7x = 0.6y - 33$
Теперь подставим это выражение в первое уравнение:
$(0.6y - 33) + 0.8y = 436$
Решим полученное уравнение для $y$:
$1.4y - 33 = 436$
$1.4y = 436 + 33$
$1.4y = 469$
$y = \frac{469}{1.4} = \frac{4690}{14} = 335$
Итак, первоначальное количество сахара на втором складе было 335 ц.

Шаг 4: Нахождение первоначального количества сахара на первом складе.
Подставим найденное значение $y = 335$ в выражение для $0.7x$:
$0.7x = 0.6 \times 335 - 33$
$0.7x = 201 - 33$
$0.7x = 168$
$x = \frac{168}{0.7} = \frac{1680}{7} = 240$
Следовательно, первоначальное количество сахара на первом складе было 240 ц.

Ответ: первоначально на первом складе было 240 ц сахара, а на втором — 335 ц сахара.

5. В сплаве $A$ массы золота и серебра относились как $1:2$, а в сплаве $B$ — как $2:3$. Когда их сплавили вместе, получили новый сплав с отношением масс золота и серебра $7:12$. Чему было равно отношение масс сплавов $A$ и $B$?

Обозначим массу сплава А как $m_A$, а массу сплава В как $m_B$.

В сплаве А отношение масс золота и серебра равно 1:2. Это означает, что золото составляет $\frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$ массы сплава А, а серебро — $\frac{2}{1+2} = \frac{2}{3}$ массы сплава А.Таким образом, масса золота в сплаве А равна $\frac{1}{3}m_A$, а масса серебра — $\frac{2}{3}m_A$.

В сплаве В отношение масс золота и серебра равно 2:3. Это означает, что золото составляет $\frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$ массы сплава В, а серебро — $\frac{3}{2+3} = \frac{3}{5}$ массы сплава В.Таким образом, масса золота в сплаве В равна $\frac{2}{5}m_B$, а масса серебра — $\frac{3}{5}m_B$.

Когда сплавы А и В сплавили вместе, общая масса золота в новом сплаве стала равна сумме масс золота из сплавов А и В:$m_{золота} = \frac{1}{3}m_A + \frac{2}{5}m_B$.

Общая масса серебра в новом сплаве стала равна сумме масс серебра из сплавов А и В:$m_{серебра} = \frac{2}{3}m_A + \frac{3}{5}m_B$.

В новом сплаве отношение масс золота и серебра равно 7:12, следовательно, мы можем составить уравнение:$\frac{m_{золота}}{m_{серебра}} = \frac{\frac{1}{3}m_A + \frac{2}{5}m_B}{\frac{2}{3}m_A + \frac{3}{5}m_B} = \frac{7}{12}$.

Решим это уравнение, чтобы найти отношение $\frac{m_A}{m_B}$. Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):
$12 \cdot (\frac{1}{3}m_A + \frac{2}{5}m_B) = 7 \cdot (\frac{2}{3}m_A + \frac{3}{5}m_B)$
Раскроем скобки:
$\frac{12}{3}m_A + \frac{24}{5}m_B = \frac{14}{3}m_A + \frac{21}{5}m_B$
$4m_A + \frac{24}{5}m_B = \frac{14}{3}m_A + \frac{21}{5}m_B$
Сгруппируем слагаемые с $m_A$ в одной части уравнения, а с $m_B$ — в другой:
$\frac{24}{5}m_B - \frac{21}{5}m_B = \frac{14}{3}m_A - 4m_A$
Выполним вычитание:
$\frac{3}{5}m_B = (\frac{14}{3} - \frac{12}{3})m_A$
$\frac{3}{5}m_B = \frac{2}{3}m_A$
Теперь выразим искомое отношение масс $\frac{m_A}{m_B}$:
$\frac{m_A}{m_B} = \frac{3}{5} \div \frac{2}{3} = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{10}$.
Таким образом, отношение масс сплавов А и В равно 9:10.

Ответ: 9:10.