Номер 7, страница 256 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 7. Системы двух уравнений с двумя неизвестными - номер 7, страница 256.

Условие.

7. Дана система уравнений

$$ \begin{cases} ax + 3y = a, \\ (a - 2)x + y = 1. \end{cases} $$

При каких значениях a данная система имеет единственное решение?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Данная система является системой двух линейных уравнений с двумя переменными x и y:

$ \begin{cases} ax + 3y = a \\ (a-2)x + y = 1 \end{cases} $

Такая система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель основной матрицы системы не равен нулю. Основная матрица системы состоит из коэффициентов при переменных x и y.

Запишем коэффициенты в общем виде для системы $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $ и для нашей системы:

$a_1 = a$, $b_1 = 3$
$a_2 = a-2$, $b_2 = 1$

Определитель основной матрицы (обозначим его $\Delta$) вычисляется по формуле:

$\Delta = a_1 b_2 - a_2 b_1$

Подставим коэффициенты нашей системы в эту формулу:

$\Delta = a \cdot 1 - (a-2) \cdot 3$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$\Delta = a - (3a - 6) = a - 3a + 6 = 6 - 2a$

Условие единственности решения системы — это $\Delta \ne 0$.

Следовательно, мы должны решить неравенство:

$6 - 2a \ne 0$

Перенесем $2a$ в правую часть:

$6 \ne 2a$

Разделим обе части на 2:

$3 \ne a$

Таким образом, система имеет единственное решение при любых значениях параметра a, кроме $a=3$.

Для полноты решения можно рассмотреть случай $a=3$. Если $a=3$, то определитель $\Delta = 6 - 2 \cdot 3 = 0$. Система принимает вид:

$ \begin{cases} 3x + 3y = 3 \\ (3-2)x + y = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x + y = 1 \\ x + y = 1 \end{cases} $

В этом случае оба уравнения системы становятся идентичными. Геометрически это означает, что две прямые сливаются в одну. Такая система имеет бесконечное множество решений (любая пара чисел $(x, y)$, удовлетворяющая уравнению $x+y=1$). Это подтверждает, что при $a=3$ единственного решения нет.

Ответ: система имеет единственное решение при $a \ne 3$.