Номер 8, страница 256 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

8. Дан график уравнения первой степени с двумя неизвестными, который проходит через точки $(0; -6)$ и $(3; 0)$. При каком значении $a$ график уравнения $ax+3y=4$ не пересечёт данный график?

Два графика уравнений первой степени (прямые) не пересекаются в том и только в том случае, если они параллельны. Условием параллельности двух прямых $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$ является равенство их угловых коэффициентов ($k_1 = k_2$) и неравенство их свободных членов ($b_1 \neq b_2$), что гарантирует, что прямые не совпадают.

Сначала найдем уравнение первой прямой. Общий вид уравнения прямой — $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член (ордината точки пересечения с осью Y).

Прямая проходит через точку $(0; -6)$. Подставим эти координаты в уравнение:
$-6 = k \cdot 0 + b$
Отсюда следует, что $b = -6$.

Теперь используем вторую точку $(3; 0)$ и найденное значение $b = -6$:
$0 = k \cdot 3 - 6$
$3k = 6$
$k_1 = 2$

Итак, уравнение первой прямой: $y = 2x - 6$. Ее угловой коэффициент $k_1 = 2$.

Далее, рассмотрим второе уравнение $ax + 3y = 4$. Приведем его к виду $y = kx + b$, чтобы определить его угловой коэффициент.
$3y = -ax + 4$
$y = -\frac{a}{3}x + \frac{4}{3}$

Угловой коэффициент второй прямой $k_2 = -\frac{a}{3}$. Свободный член $b_2 = \frac{4}{3}$.

Чтобы прямые были параллельны, их угловые коэффициенты должны быть равны:
$k_1 = k_2$
$2 = -\frac{a}{3}$

Решим это уравнение относительно $a$:
$a = 2 \cdot (-3)$
$a = -6$

При $a = -6$ угловые коэффициенты равны. Свободные члены при этом $b_1 = -6$ и $b_2 = \frac{4}{3}$ не равны, значит, прямые параллельны и не пересекаются.

Ответ: $a = -6$