Номер 755, страница 253 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

755. Решить систему уравнений:

1) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{7}{12} \\ \frac{2}{y} - \frac{1}{x} = \frac{1}{6} \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{5}{y} = 35 \\ \frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 27 \end{cases}$

3) $\begin{cases} \frac{3}{x+y} + \frac{5}{x-y} = 4 \\ \frac{1}{x+y} + \frac{15}{x-y} = 4 \end{cases}$

4) $\begin{cases} \frac{10}{x+y} - \frac{4}{x-y} = 3 \\ \frac{7}{x+y} - \frac{6}{x-y} = 2 \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{7}{12} \\ \frac{2}{y} - \frac{1}{x} = \frac{1}{6} \end{cases} $$

Для удобства решения введем новые переменные. Пусть $a = \frac{1}{x}$ и $b = \frac{1}{y}$. Тогда система примет вид:

$$ \begin{cases} a + b = \frac{7}{12} \\ 2b - a = \frac{1}{6} \end{cases} $$

Перепишем второе уравнение, чтобы переменные стояли в одном порядке:

$$ \begin{cases} a + b = \frac{7}{12} \\ -a + 2b = \frac{1}{6} \end{cases} $$

Сложим два уравнения системы, чтобы исключить переменную $a$:

$(a + b) + (-a + 2b) = \frac{7}{12} + \frac{1}{6}$

$3b = \frac{7}{12} + \frac{2}{12}$

$3b = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$

$b = \frac{3}{4 \cdot 3} = \frac{1}{4}$

Теперь подставим найденное значение $b$ в первое уравнение системы ($a + b = \frac{7}{12}$):

$a + \frac{1}{4} = \frac{7}{12}$

$a = \frac{7}{12} - \frac{1}{4} = \frac{7}{12} - \frac{3}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Мы нашли значения $a$ и $b$. Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$a = \frac{1}{x} \implies \frac{1}{3} = \frac{1}{x} \implies x = 3$

$b = \frac{1}{y} \implies \frac{1}{4} = \frac{1}{y} \implies y = 4$

Проверим найденное решение $(3, 4)$:

$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4+3}{12} = \frac{7}{12}$ (верно)

$\frac{2}{4} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6}$ (верно)

Ответ: $(3, 4)$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{5}{y} = 35 \\ \frac{3}{x} + \frac{2}{x} = 27 \end{cases} $$

Обратим внимание на второе уравнение. В нем оба слагаемых содержат переменную $x$ в знаменателе. Упростим это уравнение:

$\frac{3}{x} + \frac{2}{x} = \frac{3+2}{x} = \frac{5}{x}$

Таким образом, второе уравнение системы имеет вид:

$\frac{5}{x} = 27$

Из этого уравнения мы можем сразу найти значение $x$:

$x = \frac{5}{27}$

Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение системы ($\frac{1}{x} + \frac{5}{y} = 35$).

Так как $x = \frac{5}{27}$, то $\frac{1}{x} = \frac{27}{5}$.

$\frac{27}{5} + \frac{5}{y} = 35$

Теперь решим это уравнение относительно $y$:

$\frac{5}{y} = 35 - \frac{27}{5}$

$\frac{5}{y} = \frac{35 \cdot 5}{5} - \frac{27}{5} = \frac{175 - 27}{5} = \frac{148}{5}$

Из равенства $\frac{5}{y} = \frac{148}{5}$ находим $y$:

$y = \frac{5 \cdot 5}{148} = \frac{25}{148}$

Ответ: $(\frac{5}{27}, \frac{25}{148})$.

3)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{3}{x+y} + \frac{5}{x-y} = 4 \\ \frac{1}{x+y} + \frac{15}{x-y} = 4 \end{cases} $$

Для решения этой системы удобно использовать метод замены переменных. Пусть $a = \frac{1}{x+y}$ и $b = \frac{1}{x-y}$. Система примет вид:

$$ \begin{cases} 3a + 5b = 4 \\ a + 15b = 4 \end{cases} $$

Решим эту систему линейных уравнений. Из второго уравнения выразим $a$: $a = 4 - 15b$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$3(4 - 15b) + 5b = 4$

$12 - 45b + 5b = 4$

$12 - 40b = 4$

$40b = 12 - 4 = 8$

$b = \frac{8}{40} = \frac{1}{5}$

Теперь найдем $a$:

$a = 4 - 15b = 4 - 15 \cdot \frac{1}{5} = 4 - 3 = 1$

Мы нашли, что $a=1$ и $b=\frac{1}{5}$. Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$a = \frac{1}{x+y} = 1 \implies x+y = 1$

$b = \frac{1}{x-y} = \frac{1}{5} \implies x-y = 5$

Теперь у нас есть новая, более простая система уравнений:

$$ \begin{cases} x+y = 1 \\ x-y = 5 \end{cases} $$

Сложим два уравнения этой системы:

$(x+y) + (x-y) = 1 + 5$

$2x = 6 \implies x = 3$

Подставим значение $x=3$ в первое уравнение ($x+y=1$):

$3 + y = 1 \implies y = 1 - 3 = -2$

Ответ: $(3, -2)$.

4)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{10}{x+y} - \frac{4}{x-y} = 3 \\ \frac{7}{x+y} - \frac{6}{x-y} = 2 \end{cases} $$

Как и в предыдущем примере, введем замену переменных: $a = \frac{1}{x+y}$ и $b = \frac{1}{x-y}$. Система уравнений примет вид:

$$ \begin{cases} 10a - 4b = 3 \\ 7a - 6b = 2 \end{cases} $$

Решим эту систему методом алгебраического сложения (вычитания). Чтобы коэффициенты при $b$ стали одинаковыми по модулю, умножим первое уравнение на 3, а второе на 2:

$$ \begin{cases} 3(10a - 4b) = 3 \cdot 3 \\ 2(7a - 6b) = 2 \cdot 2 \end{cases} \implies \begin{cases} 30a - 12b = 9 \\ 14a - 12b = 4 \end{cases} $$

Теперь вычтем второе уравнение из первого:

$(30a - 12b) - (14a - 12b) = 9 - 4$

$16a = 5 \implies a = \frac{5}{16}$

Подставим найденное значение $a$ в первое исходное уравнение для $a$ и $b$ ($10a - 4b = 3$):

$10 \cdot \frac{5}{16} - 4b = 3$

$\frac{50}{16} - 4b = 3 \implies \frac{25}{8} - 4b = 3$

$4b = \frac{25}{8} - 3 = \frac{25}{8} - \frac{24}{8} = \frac{1}{8}$

$b = \frac{1}{8 \cdot 4} = \frac{1}{32}$

Вернемся к переменным $x$ и $y$:

$a = \frac{1}{x+y} = \frac{5}{16} \implies x+y = \frac{16}{5}$

$b = \frac{1}{x-y} = \frac{1}{32} \implies x-y = 32$

Получили новую систему:

$$ \begin{cases} x+y = \frac{16}{5} \\ x-y = 32 \end{cases} $$

Сложим уравнения этой системы:

$(x+y) + (x-y) = \frac{16}{5} + 32$

$2x = \frac{16}{5} + \frac{160}{5} = \frac{176}{5}$

$x = \frac{176}{5 \cdot 2} = \frac{88}{5}$

Подставим значение $x$ в первое уравнение ($x+y = \frac{16}{5}$):

$\frac{88}{5} + y = \frac{16}{5}$

$y = \frac{16}{5} - \frac{88}{5} = -\frac{72}{5}$

Ответ: $(\frac{88}{5}, -\frac{72}{5})$.