Номер 748, страница 252 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

748. 1) В одни ящики положили по 10 кг яблок, в другие — по 20 кг. Суммарная масса этих яблок составляет 110 кг. Сколько ящиков по 10 кг и сколько по 20 кг заполнено яблоками?

2) Проволока длиной 1 м 12 см разрезана на куски по 18 см и 24 см. Сколько кусков каждого вида получилось?

1)

Пусть $x$ — это количество ящиков по 10 кг, а $y$ — количество ящиков по 20 кг. Согласно условию задачи, $x$ и $y$ должны быть целыми положительными числами, так как ящики были заполнены яблоками и речь идет о ящиках "одних" и "других" видов.

Суммарная масса всех яблок составляет 110 кг. Мы можем составить следующее уравнение:

$10x + 20y = 110$

Для упрощения вычислений разделим обе части уравнения на 10:

$x + 2y = 11$

Теперь нам нужно найти все пары целых положительных чисел $(x, y)$, которые удовлетворяют этому уравнению. Выразим $x$ через $y$:

$x = 11 - 2y$

Так как $x$ должен быть положительным числом ($x > 0$), то должно выполняться неравенство $11 - 2y > 0$. Отсюда следует, что $11 > 2y$, или $y < 5.5$.

Поскольку $y$ также должен быть целым положительным числом, возможные значения для $y$ — это 1, 2, 3, 4, 5. Подставим каждое из этих значений в уравнение, чтобы найти соответствующее значение $x$:

• Если $y = 1$, то $x = 11 - 2(1) = 9$. Это дает 9 ящиков по 10 кг и 1 ящик по 20 кг.
• Если $y = 2$, то $x = 11 - 2(2) = 7$. Это дает 7 ящиков по 10 кг и 2 ящика по 20 кг.
• Если $y = 3$, то $x = 11 - 2(3) = 5$. Это дает 5 ящиков по 10 кг и 3 ящика по 20 кг.
• Если $y = 4$, то $x = 11 - 2(4) = 3$. Это дает 3 ящика по 10 кг и 4 ящика по 20 кг.
• Если $y = 5$, то $x = 11 - 2(5) = 1$. Это дает 1 ящик по 10 кг и 5 ящиков по 20 кг.

Таким образом, существует 5 возможных комбинаций ящиков.

Ответ: Задача имеет несколько решений. Возможные варианты: 9 ящиков по 10 кг и 1 ящик по 20 кг; 7 ящиков по 10 кг и 2 ящика по 20 кг; 5 ящиков по 10 кг и 3 ящика по 20 кг; 3 ящика по 10 кг и 4 ящика по 20 кг; 1 ящик по 10 кг и 5 ящиков по 20 кг.

2)

В первую очередь, необходимо привести все единицы измерения к одной. Переведем длину проволоки в сантиметры:

$1 \text{ м } 12 \text{ см} = 100 \text{ см} + 12 \text{ см} = 112 \text{ см}$

Пусть $x$ — это количество кусков проволоки длиной 18 см, а $y$ — количество кусков длиной 24 см. По условию, $x$ и $y$ должны быть целыми неотрицательными числами.

Так как вся проволока была разрезана на эти куски, суммарная их длина должна быть равна 112 см. Составим уравнение:

$18x + 24y = 112$

Такие уравнения, где переменные могут быть только целыми числами, называются диофантовыми. Чтобы такое уравнение имело решение, необходимо, чтобы правая часть уравнения (112) делилась нацело на наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов при переменных $x$ и $y$ (18 и 24).

Найдем НОД(18, 24):

$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$

$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$

Общие множители — это 2 и 3. Значит, $\text{НОД}(18, 24) = 2 \cdot 3 = 6$.

Левая часть уравнения, $18x + 24y = 6(3x + 4y)$, всегда делится на 6 при любых целых $x$ и $y$. Теперь проверим, делится ли правая часть уравнения (112) на 6:

$112 \div 6 = 18$ с остатком 4.

Так как 112 не делится на 6 без остатка, то равенство $18x + 24y = 112$ не может быть выполнено для целых чисел $x$ и $y$. Следовательно, у уравнения нет целочисленных решений.

Ответ: Разрезать проволоку длиной 1 м 12 см на куски по 18 см и 24 см без остатка невозможно. Задача в предложенных условиях не имеет решения.