Номер 743, страница 251 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

743. 1) $$\begin{cases} 2(x + y) - 3(x - y) = 4, \\ 5(x + y) - 7(x - y) = 2; \end{cases}$$

2) $$\begin{cases} 5(3x + y) - 8(x - 6y) = 20, \\ 6(x - 10y) - 13(x - y) = 52. \end{cases}$$

1) Исходная система уравнений: $ \begin{cases} 2(x + y) - 3(x - y) = 4 \\ 5(x + y) - 7(x - y) = 2 \end{cases} $
Этот тип системы удобно решать методом введения новых переменных. Заметим, что в оба уравнения входят одинаковые выражения $x+y$ и $x-y$.
Пусть $a = x + y$ и $b = x - y$.
Тогда исходная система примет вид: $ \begin{cases} 2a - 3b = 4 \\ 5a - 7b = 2 \end{cases} $
Решим полученную систему линейных уравнений относительно $a$ и $b$ методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на -2, чтобы коэффициенты при переменной $a$ стали противоположными числами:
$ \begin{cases} 10a - 15b = 20 \\ -10a + 14b = -4 \end{cases} $
Сложим почленно уравнения системы:
$(10a - 15b) + (-10a + 14b) = 20 - 4$
$-b = 16$
$b = -16$
Теперь подставим найденное значение $b = -16$ в первое уравнение системы $2a - 3b = 4$, чтобы найти $a$:
$2a - 3(-16) = 4$
$2a + 48 = 4$
$2a = 4 - 48$
$2a = -44$
$a = -22$
Теперь, когда мы нашли значения $a$ и $b$, выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:
$ \begin{cases} x + y = a \\ x - y = b \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x + y = -22 \\ x - y = -16 \end{cases} $
Сложим уравнения этой новой системы:
$(x + y) + (x - y) = -22 + (-16)$
$2x = -38$
$x = -19$
Подставим значение $x = -19$ в первое уравнение $x + y = -22$:
$-19 + y = -22$
$y = -22 + 19$
$y = -3$
Ответ: $x = -19, y = -3$.

2) Исходная система уравнений: $ \begin{cases} 5(3x + y) - 8(x - 6y) = 20 \\ 6(x - 10y) - 13(x - y) = 52 \end{cases} $
Упростим каждое уравнение системы, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.
Первое уравнение:
$5(3x + y) - 8(x - 6y) = 20$
$15x + 5y - 8x + 48y = 20$
$(15-8)x + (5+48)y = 20$
$7x + 53y = 20$
Второе уравнение:
$6(x - 10y) - 13(x - y) = 52$
$6x - 60y - 13x + 13y = 52$
$(6-13)x + (-60+13)y = 52$
$-7x - 47y = 52$
В результате преобразований получаем следующую, более простую систему: $ \begin{cases} 7x + 53y = 20 \\ -7x - 47y = 52 \end{cases} $
Коэффициенты при переменной $x$ являются противоположными числами ($7$ и $-7$), поэтому для решения системы удобно использовать метод алгебраического сложения. Сложим два уравнения:
$(7x + 53y) + (-7x - 47y) = 20 + 52$
$53y - 47y = 72$
$6y = 72$
$y = 12$
Подставим найденное значение $y = 12$ в первое упрощенное уравнение $7x + 53y = 20$, чтобы найти $x$:
$7x + 53 \cdot 12 = 20$
$7x + 636 = 20$
$7x = 20 - 636$
$7x = -616$
$x = \frac{-616}{7}$
$x = -88$
Ответ: $x = -88, y = 12$.