Номер 744, страница 251 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

744. 1) $\begin{cases} 16x - 27y = 20, \\ 5x + 18y = 41,5; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 18x - 21y = 2, \\ 24x - 15y = 7; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \frac{1}{2}(x - 4y) = x - y, \\ \frac{x}{2} + y = 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 3(x - y) = 6(y + 1), \\ \frac{x}{3} - 1\frac{1}{3} = y; \end{cases}$

5) $\begin{cases} \frac{x - y}{3} - \frac{1}{2} = \frac{x - y}{4}, \\ \frac{x - y}{2} = 4,5 + \frac{y - 1}{3}; \end{cases}$

6) $\begin{cases} \frac{x + y}{5} - \frac{y - x}{2} = x + \frac{3}{20}, \\ \frac{x - y}{4} + \frac{x + y}{3} = y - 7\frac{1}{24}. \end{cases}$

1) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} 16x - 27y = 20, \\ 5x + 18y = 41,5 \end{cases} $
Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными числами: $ \begin{cases} 32x - 54y = 40, \\ 15x + 54y = 124,5 \end{cases} $
Сложим два уравнения системы: $ (32x - 54y) + (15x + 54y) = 40 + 124,5 $
$ 47x = 164,5 $
$ x = \frac{164,5}{47} = 3,5 $
Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение исходной системы: $ 5 \cdot (3,5) + 18y = 41,5 $
$ 17,5 + 18y = 41,5 $
$ 18y = 41,5 - 17,5 $
$ 18y = 24 $
$ y = \frac{24}{18} = \frac{4}{3} $
Ответ: $x = 3,5; y = \frac{4}{3}$.

2) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} 18x - 21y = 2, \\ 24x - 15y = 7 \end{cases} $
Умножим первое уравнение на 4, а второе на 3, чтобы уравнять коэффициенты при $x$: $ \begin{cases} 4(18x - 21y) = 4 \cdot 2, \\ 3(24x - 15y) = 3 \cdot 7 \end{cases} $
$ \begin{cases} 72x - 84y = 8, \\ 72x - 45y = 21 \end{cases} $
Вычтем первое уравнение из второго: $ (72x - 45y) - (72x - 84y) = 21 - 8 $
$ 39y = 13 $
$ y = \frac{13}{39} = \frac{1}{3} $
Подставим найденное значение $y$ в первое уравнение исходной системы: $ 18x - 21 \cdot (\frac{1}{3}) = 2 $
$ 18x - 7 = 2 $
$ 18x = 9 $
$ x = \frac{9}{18} = \frac{1}{2} $
Ответ: $x = \frac{1}{2}; y = \frac{1}{3}$.

3) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} \frac{1}{2}(x - 4y) = x - y, \\ \frac{x}{2} + y = 0 \end{cases} $
Упростим первое уравнение, умножив обе части на 2: $ x - 4y = 2(x - y) $
$ x - 4y = 2x - 2y $
$ -x = 2y $
$ x = -2y $
Упростим второе уравнение, умножив обе части на 2: $ x + 2y = 0 $
$ x = -2y $
Оба уравнения системы приводятся к одному и тому же виду $x = -2y$. Это означает, что система имеет бесконечное множество решений. Любая пара чисел $(x, y)$, удовлетворяющая этому соотношению, является решением системы.
Ответ: бесконечное множество решений вида $(x, y)$, где $x = -2y$.

4) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} 3(x - y) = 6(y + 1), \\ \frac{x}{3} - 1\frac{1}{3} = y \end{cases} $
Упростим первое уравнение, разделив обе части на 3: $ x - y = 2(y + 1) $
$ x - y = 2y + 2 $
$ x = 3y + 2 $
Упростим второе уравнение. Сначала преобразуем смешанную дробь: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$. $ \frac{x}{3} - \frac{4}{3} = y $
Умножим обе части на 3: $ x - 4 = 3y $
$ x = 3y + 4 $
Мы получили два выражения для $x$: $x = 3y + 2$ и $x = 3y + 4$. Приравняем их: $ 3y + 2 = 3y + 4 $
$ 2 = 4 $
Полученное равенство является ложным. Это означает, что система не имеет решений.
Ответ: решений нет.

5) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} \frac{x - y}{3} - \frac{1}{2} = \frac{x - y}{4}, \\ \frac{x - y}{2} = 4,5 + \frac{y - 1}{3} \end{cases} $
В первом уравнении перенесем члены с $(x-y)$ в одну сторону: $ \frac{x - y}{3} - \frac{x - y}{4} = \frac{1}{2} $
Приведем левую часть к общему знаменателю: $ (x - y) \cdot (\frac{4 - 3}{12}) = \frac{1}{2} $
$ (x - y) \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{2} $
$ x - y = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 $
Теперь подставим $x - y = 6$ во второе уравнение системы: $ \frac{6}{2} = 4,5 + \frac{y - 1}{3} $
$ 3 = 4,5 + \frac{y - 1}{3} $
$ 3 - 4,5 = \frac{y - 1}{3} $
$ -1,5 = \frac{y - 1}{3} $
$ -1,5 \cdot 3 = y - 1 $
$ -4,5 = y - 1 $
$ y = -4,5 + 1 = -3,5 $
Найдем $x$ из соотношения $x - y = 6$: $ x - (-3,5) = 6 $
$ x + 3,5 = 6 $
$ x = 6 - 3,5 = 2,5 $
Ответ: $x = 2,5; y = -3,5$.

6) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} \frac{x + y}{5} - \frac{y - x}{2} = x + \frac{3}{20}, \\ \frac{x - y}{4} + \frac{x + y}{3} = y - 7\frac{1}{24} \end{cases} $
Упростим первое уравнение. Умножим обе части на 20: $ 4(x + y) - 10(y - x) = 20x + 3 $
$ 4x + 4y - 10y + 10x = 20x + 3 $
$ 14x - 6y = 20x + 3 $
$ -6x - 6y = 3 $
Разделим на -3: $ 2x + 2y = -1 $
Упростим второе уравнение. Преобразуем $7\frac{1}{24} = \frac{169}{24}$. Умножим обе части на 24: $ 6(x - y) + 8(x + y) = 24y - 169 $
$ 6x - 6y + 8x + 8y = 24y - 169 $
$ 14x + 2y = 24y - 169 $
$ 14x - 22y = -169 $
Получили упрощенную систему: $ \begin{cases} 2x + 2y = -1, \\ 14x - 22y = -169 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $2y = -1 - 2x$. Подставим это выражение во второе уравнение, представив его как $14x - 11(2y) = -169$:
$ 14x - 11(-1 - 2x) = -169 $
$ 14x + 11 + 22x = -169 $
$ 36x = -169 - 11 $
$ 36x = -180 $
$ x = \frac{-180}{36} = -5 $
Теперь найдем $y$ из $2y = -1 - 2x$: $ 2y = -1 - 2(-5) = -1 + 10 = 9 $
$ y = \frac{9}{2} = 4,5 $
Ответ: $x = -5; y = 4,5$.